|
Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям |
Случайная величина — одно из основных понятий современной теории вероятностей; числовая измеримая функция, заданная на вероятностном пространстве.
Определение[]
Пусть — вероятностное пространство, — измеримое пространство, где — числовая ось, а — борелевская сигма-алгебра её подмножеств; функция
- ,
измеримая относительно и , называется случайной величиной.
Толкование[]
Наряду со случайными событиями — исходами случайного эксперимента, полностью его характеризующими, любой эксперимент можно исследовать и с частной (но широко распространённой в современной науке) количественной точки зрения, что приводит к понятию случайной величины в теории вероятностей. Исходы любого случайного эксперимента можно представить количественно с помощью одной или нескольких числовых величин. Проблема в том насколько удобно количественное представление для исчисления вероятностей событий, связанных с исходами данного эксперимента.
Числовые значения, описывающие исходы случайного эксперимента, могут характеризовать не только отдельные исходы (элементарные события), но и — более сложные события. Кроме того, исходы случайного эксперимента могут потребовать для своего описания нескольких числовых величин — числовой вектор. Например, координаты (абсцисса, ордината) точки попадания снаряда при стрельбе по намеченной цели; метрические размеры (длина, ширина, высота) детали при контроле ее качества; данные (температура, давление, пульс, рост, вес и пр.) медицинской диагностики пациента; данные переписи населения (возраст, доход и пр.). Один и тот же случайный эксперимент можно характеризовать различными числовыми объектами (число, вектор, функция, поле, процесс), выбор вида которых для исчисления вероятностей тех или иных событий, связанных с исходами эксперимента, основан на соображениях удобства и простоты исследований.
Поскольку значения числовых характеристик случайного эксперимента соответствуют некоторым случайным событиям (имеющими вероятности), то данные значения — случайны (и имеют соответствующие вероятности). В связи с этим числовые характеристики исходов случайного эксперимента в теории вероятностей принято называть случайными величинами, векторами, функциями, полями, процессами и т.п. При этом распределение вероятностей значений случайной величины называется её законом распределения. Диапазон возможных значений (спектр) случайной величины может быть как дискретным (конечным/бесконечным), так и непрерывным, а также комбинированным — в зависимости от характера ее закона распределения.
Исторический обзор[]
Роль понятий случайной величины и её среднего значения (математического ожидания) впервые ясно осознал и оценил П.Л.Чебышёв (1867, см. Литература). Понимание того, что случайная величина — измеримая функция на вероятностном пространстве, пришло позднее только после того, как полное и свободное от лишних ограничений изложение теории вероятностей на основе теории меры было наилучшим образом дано А.Н.Колмогоровым (1933, см. Литература). Этот факт очень важно учитывать даже при первоначальном изложении теории вероятностей в учебной литературе, что впервые было сделано В.Феллером в его книге (1967, см. Литература), где изложение строится на понятии пространства элементарных событий и подчеркивается, что лишь в этом случае представление о случайной величине становится содержательным.
Литература[]
- Чебышёв П.Л. О средних значениях. В кн. Полн. Собр. Соч., т.2, М.-Л., 1947.
- Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2 изд., М., 1974.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Пер. с англ., 2 изд., т.1,М.,1967.