Случайное компактное множество — это измеримая функция
из вероятностного пространства в измеримое пространство , где множество всех компактных подмножеств превращаемое хаусдорфовой метрикой
в полное сепарабельное метрическое пространство, в котором соответствующие открытые подмножества порождают -алгебру, борелевскую -алгебру подмножеств .
Случайные коммпактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона [Matheron, 1975]. Следовательно, их распределение задается вероятностями
Продолжая, заметим, что распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения
Для определена вероятность , которая удовлетворяет соотношению:
Таким образом функция покрытия дается формулой
Разумеется, может также интерпретироваться, как среднее индикаторной функции
Функция покрытия принимает значения между и . Множество всех с называется базой Множество всех с называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом . Если — это последовательность н.о.р. случайных компактных множеств, то почти наверное
и сходится почти наверное к
Литература[]
Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.