Наука
Регистрация
Advertisement

Случайное множество — измеримое отображение семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства в некоторое пространство , элементами которого являются множества.


Существуют различные уточнения понятия С.м. в зависимости от структуры множества значений. Так, если - топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространенными являются случаи:

  • — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства , называемого базовым), тогда С.м. есть случайное замкнутое множество;
  • — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
  • — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам;
  • — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
  • — подпространство выпуклых элементов , при этом получают случайное выпуклое множество.

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства С.м. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение С.м. Существует, однако, класс сепарабельных С.м., для которых точечный закон полностью задает распределение: это С.м. со свойством , где счетно и всюду плотно в .

Важными частными классами С.м. являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения С.м., не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств). Особые разновидности представляет собой случайное конечное множество и случайное конечное абстрактное множество.

Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т.п.).

Литература[]

  • Kendall D.G. (1974) в кн: Stochastic geometry, N.Y.
  • Сhоquеt G. (1953-54) «Ann.Inst.Fourier», t.5, р. 131-295;
  • Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
  • Ляшенко Н.Н. (1999) Случайное множество. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: БРЭ.
Advertisement