Случайный вектор (двудольный)

Обзор теории двудольных случайных величин и векторов

Двудольная случайная величина

Рассмотрим произвольную случайную величину $\eta$ с функцией распределения $F_{\eta }(u)$, непрерывной в нуле, и конечным математическим ожиданием:

$E\eta =\int _{-\infty }^{\infty }u\ dF_{\eta }(u)<\infty .$

Добавим случайной величине $\eta$ "атом" в нуле с вероятностью $1-p$, сохранив ей прежнее распределение с вероятностью $p$, и обозначим полученную случайную величину $\xi (p)$. Таким образом, можно сказать, что случайная величина $\xi (p)$ принимает два обобщенных значения, из которых одно --- обычный нуль с вероятностью $1-p$, а второе --- случайная величина $\eta$ с вероятностью $p$.

По сути дела речь идет о смеси распределений. Полученная случайная величина будет иметь функцию распределения

сохраняющую свойство непрерывности слева в каждой точке действительной оси (рис.1).

Рис. 1: Функции распределения: слева -- случайной величины $\eta$, справа -- двудольной случайной величины $\xi (p)$.

Определение (двудольная случайная величина): Двудольной случайной величиной с параметрами $(p,\eta )$ будем называть случайную величину $\xi (p)$, с вероятностью $p$ имеющую непрерывную в нуле функцию распределения, а с вероятностью $1-p$ --- атом в нуле. Случайную величину $\eta$ с непрерывной в нуле функцией распределения будем называть ненулевым значением двудольной случайной величины $\xi (p)$.

Двудольный случайный вектор

Рассмотрим конечное множество событий $\mathfrak{X}$ и "занумерованные" этими событиями двудольные случайные величины, образующие двудольный случайный вектор

$\xi (p)=\left\{\xi _{x}(p_{x}),\ x\in {\mathfrak {X}}\right\}$

с совместной функцией распределения

$F_{p}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})=P\left\{\bigcap _{x\in {\mathfrak {X}}}\{\xi _{x}(p_{x})<u_{x}\}\right\},(1)$

где $p=\{p_{x},\ x\in {\mathfrak {X}}\}$, и индивидуальными функциями распределения

$F_{p_{x}}(u_{x})=P{\Big \{}\xi _{x}(p_{x})<u_{x}{\Big \}},\ \ \ x\in {\mathfrak {X}},$

соответственно.

Определение (двудольный случайный вектор): Вектор $\xi (p)$, составленный из двудольных случайных величин, определяемых совместной функцией распределения (1), называется двудольным случайным вектором.

Распределение вероятностей случайного множества $K$ под $\mathfrak{X}$:

$p(X)=P(K=X),\ \ \ X\in 2^{\mathfrak {X}},$

определяется совместной функцией распределения по формулам:

$p(X)=P\left\{\bigcap _{x\in X}\{\xi _{x}(p_{x})\not =0\}\bigcap _{x\in X^{c}}\{\xi _{x}(p_{x})=0\}\right\},\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},(2)$

где параметры распределения $p_x$ имеют очевидную интерпретацию:

$p_{x}=P\left\{\xi _{x}(p_{x})\not =0\right\},\ \ \ x\in {\mathfrak {X}},$

как вероятность того, что $\xi _{x}(p_{x})\not =0$, а сама вероятность $p(X)$ --- это вероятность того, что произошло событие

$e_{X}=\left\{\bigcap _{x\in X}\{\xi _{x}(p_{x})\not =0\}\bigcap _{x\in X^{c}}\{\xi _{x}(p_{x})=0\}\right\},$

которое заключается в том, что ненулевые компоненты двудольного случайного вектора $\xi (p)$ образуют подмножество $\{\xi _{x},\ x\in X\}$. Очевидно, что

$P(e_{X})=p(X).$

Определение: Случайное множество К с распределением вероятностей (2) называется случайным множеством ненулевых компонент двудольного случайного вектора.

Теорема о разложении двудольного случайного вектора по случайно множественному базису

Теорема( о разложении распределения двудольного случайного вектора по случайно-множественному базису): Пусть $\xi (p)=\{\xi _{x}(p_{x}),\ x\in {\mathfrak {X}}\}$ --- двудольный случайный вектор, составленный из $N=|\mathfrak{X}|$ двудольных случайных величин, с совместной $N$-мерной функцией распределения

$F_{p}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})=P\left\{\bigcap _{x\in {\mathfrak {X}}}\{\xi _{x}(p_{x})<u_{x}\}\right\}.$

Тогда для функции $F_{p}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})$ справедливо разложение

$F_{p}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})=\sum \limits _{X\in 2^{\mathfrak {X}}}F_{X}(u_{x}|e_{X},\ x\in {\mathfrak {X}})\cdot p(X),(3)$

где

$F_{X}(u_{x}|e_{X},\ x\in {\mathfrak {X}}\ )=P\left\{\bigcap _{x\in {\mathfrak {X}}}\{\xi _{x}(p_{x})<u_{x}{\Big |}e_{X}\}\right\},$

условные функции распределения двудольного случайного вектора $\xi (p)$ при условии случайного события

$e_{X}=\left\{\bigcap _{x\in X}\{\xi _{x}(p_{x})\not =0\}\bigcap _{x\in X^{c}}\{\xi _{x}(p_{x})=0\}\right\},\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},$

а

$p(X)=P(e_{X}),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},$

вероятность такого события.

Определение (нульмерная функция распределения}:

$F_{\emptyset }(\cdot )=P\left\{\cdot |_{\emptyset }\right\}=\prod _{x\in {\mathfrak {X}}}1_{\{u_{x}\geq 0\}}$

--- это функция распределения вырожденного случайного вектора, который принимает единственное нулевое значение: $\{0,\ldots ,0\}$, она равна единице всякий раз, когда все $u_x$ неотрицательны.

Совокупность условных функций распределения

$\left\{F_{X}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}}),\ X\subseteq {\mathfrak {X}}\right\}$

образуют количественную надстройку.

Распределение вероятностей $p(X)$ в правой части формулы (3) образует случайно-множественный базис.

Пусть количественная надстройка состоит из непрерывных и дифференцируемых функций распределения. Тогда существуют условные плотности и очевидно следующее утверждение.

Следствие: Пусть $\xi (p)=\{\xi _{x}(p_{x}),\ x\in {\mathfrak {X}}\}$ --- двудольный случайный вектор, составленный из $N=|\mathfrak{X}|$ двудольных случайных величин, с совместной $N$-мерной функцией плотности $f_{p}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}}).$ Тогда для совместной функции плотности двудольного случайного вектора справедливо разложение

$f_{p}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})=\sum \limits _{X\in 2^{\mathfrak {X}}}f_{X}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})\cdot p(X),$

где

$f_{X}(u_{x},\ x\in {\mathfrak {X}})={\frac {\partial F_{X}(u_{x},\ x\in X)}{\partial \{u_{x},\ x\in X\}}},$

условные совместные плотности двудольного случайного вектора $\xi (p)$ при условии случайного события

$e_{X}=\left\{\bigcap _{x\in X}\{\xi _{x}(p_{x})\not =0\}\bigcap _{x\in X^{c}}\{\xi _{x}(p_{x})=0\}\right\},\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},$

а

$p(X)=P(e_{X}),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},$

вероятность такого события.