Albert Einstein 1979 USSR Stamp — Почтовая марка с формулой E = mc², посвящённая Альберту Эйнштейну, одному из создателей СТО

Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями. Основным отличием СТО от классической механики является зависимость (наблюдаемых) пространственных и временных характеристик от скорости.

Центральное место в специальной теории относительности занимают преобразования Лоренца, которые позволяют преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Специальная теория относительности была создана Альбертом Эйнштейном в работе 1905 года «К электродинамике движущихся тел». Математический аппарат преобразований координат и времени между различными системами отсчета (с целью сохранения уравнений электромагнитного поля), был ранее сформулирован французским математиком А. Пуанкаре (который и предложил их назвать «преобразованиями Лоренца» — сам Лоренц вывел до этого только приближённые формулы^[1]). А. Пуанкаре также первым показал, что эти преобразования можно интерпретировать как повороты в четырехмерном пространстве-времени с мнимым временем (опередив Г. Минковского) и показал, что преобразования Лоренца образуют группу. О роли А. Пуанкаре в создании теории относительности см. подробнее: Пуанкаре, Анри#Роль Пуанкаре в создании теории относительности.

Непосредственно термин «теория относительности» был предложен М. Планком. В дальнейшем, после разработки А. Эйнштейном теории гравитации — общей теории относительности — к первоначальной теории начал применяться термин «специальная» или «частная» теория относительности.

Создание СТО[]

Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики ^[2]. Результатом обобщения и теоретического осмысления экспериментальных фактов и закономерностей в областях электричества и магнетизма стали уравнения Максвелла, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя, и равна скорости света. Таким образом, уравнения Максвелла оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея, что противоречило классической механике.

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна и других учёных ^[3] (см. История теории относительности). Экспериментальной основой для создания СТО послужил опыт Майкельсона. Его результаты оказались неожиданными для классической физики своего времени: независимость скорости света от направления (изотропность) и орбитального движения Земли вокруг Солнца. Попытка интерпретировать этот результат в начале XX века вылилась в пересмотр классических представлений и привела к созданию специальной теории относительности.

При движении с околосветовыми скоростями видоизменяются законы динамики. Второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован при скоростях тел, близких к скорости света. Кроме этого, выражение для импульса и кинетической энергии тела имеет более сложную зависимость от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является верной теорией в своей области применимости^[4] (см. Экспериментальные основания СТО). По меткому замечанию Л. Пэйджа, «в наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать»^[5].

Основные понятия и постулаты СТО[]

Специальная теория относительности, как и любая другая физическая теория, может быть сформулирована на базе из основных понятий и постулатов (аксиом) плюс правила соответствия её физическим объектам.

Основные понятия[]

Система отсчёта представляет собой некоторое материальное тело, выбираемое в качестве начала этой системы, способ определения положения объектов относительно начала системы отсчёта и способ измерения времени. Обычно различают системы отсчёта и системы координат. Добавление процедуры измерения времени к системе координат «превращает» её в систему отсчёта.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — это такая система, относительно которой объект, не подверженный внешним воздействиям, движется равномерно и прямолинейно. Постулируется, что ИСО существуют, и любая система отсчёта, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, также является ИСО.

Событием называется любой физический процесс, который может быть локализован в пространстве, и имеющий при этом очень малую длительность. Другими словами, событие полностью характеризуется координатами (x, y, z) и моментом времени t. Примерами событий являются: вспышка света, положение материальной точки в данный момент времени и т. п.

Обычно рассматриваются две инерциальные системы S и S'. Время и координаты некоторого события, измеренные относительно системы S, обозначаются как (t, x, y, z), а координаты и время этого же события, измеренные относительно системы S', как (t', x', y', z'). Удобно считать, что координатные оси систем параллельны друг другу, и система S' движется вдоль оси x системы S со скоростью v. Одной из задач СТО является поиск соотношений, связывающих (t', x', y', z') и (t, x, y, z), которые называются преобразованиями Лоренца.

Синхронизация времени[]

В СТО постулируется возможность определения единого времени в рамках данной инерциальной системы отсчёта. Для этого вводится процедура синхронизации двух часов, находящихся в различных точках ИСО ^[6]. Пусть от первых часов в момент времени $t_1$ ко вторым посылается сигнал (не обязательно световой) с постоянной скоростью $u$ . Сразу по достижении вторых часов (по их показаниям в момент времени $T$ ) сигнал отправляется обратно с той же постоянной скоростью $u$ и достигает первых часов в момент времени $t_2$ . Часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение $T=(t_1+t_2)/2$ .

Предполагается, что такая процедура в данной инерциальной системе отсчёта может быть проведена для любых неподвижных относительно друг друга часов, так что справедливо свойство транзитивности: если часы A синхронизованы с часами B, а часы B синхронизованы с часами C, то часы A и C также окажутся синхронизированными.

В отличие от классической механики, единое время можно ввести только в рамках данной системы отсчёта. В СТО не предполагается, что время является общим для различных систем. В этом состоит основное отличие аксиоматики СТО от классической механики, в которой постулируется существование единого (абсолютного) времени для всех систем отсчёта.

Согласование единиц измерения[]

Чтобы измерения, выполненные в различных ИСО, можно было между собой сравнивать, необходимо провести согласование единиц измерения между системами отсчёта. Так, единицы длины могут быть согласованы при помощи сравнения эталонов длины в перпендикулярном направлении к относительному движению инерциальных систем отсчёта^[7]. Например, это может быть кратчайшее расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно осям x и x' и имеющих различные, но постоянные координаты (y, z) и (y',z'). Для согласования единиц измерения времени можно использовать идентично устроенные часы, например, атомные.

Постулаты СТО[]

В первую очередь в СТО, как и в классической механике, предполагается, что пространство и время однородны, а пространство также изотропно. Если быть более точным (современный подход) инерциальные системы отсчета собственно и определяются как такие системы отсчета, в которых пространство однородно и изотропно, а время однородно. По сути существование таких систем отсчета постулируется.

Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна). Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.

Учитывая второй закон Ньютона (или уравнения Эйлера-Лагранжа в лагранжевой механике), можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение ИСО.

Формально, принцип относительности Эйнштейна распространил классический принцип относительности (Галилея) с механических на все физические явления. Однако, если учесть, что во времена Галилея физика заключалась собственно в механике, то и классический принцип тоже можно считать распространяющимся на все физические явления. В том числе он должен распространяться и на электромагнитные явления, описываемые уравнениями Максвелла. Однако, согласно последним (и это можно считать эмпирически установленным, так как уравнения выведены из эмпирически выявленных закономерностей), скорость распространения света является определённой величиной, не зависящей от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчёта). Принцип относительности в таком случае говорит, что она не должна зависеть от скорости источника во всех ИСО в силу их равноправности. А значит, она должна быть постоянной во всех ИСО. В этом заключается суть второго постулата:

Постулат 2 (принцип постоянства скорости света). Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника.

Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно — закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно быть относительным — неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что «расстояния» также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе — за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда непосредственно следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться.

Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа $c$ , возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной квантовой теории поля (уравнения которой изначально строятся как релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитного поля (фотона). Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость $c$ и скорость света $c_{em}$ ^[8]. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия.

В связи с этим второй постулат следует формулировать как существование предельной (максимальной) скорости движения. По своей сути она должна быть одинаковой во всех ИСО, хотя бы потому, что в противном случае различные ИСО не будут равноправны, что противоречит принципу относительности. Более того, исходя из принципа «минимальности» аксиом, можно сформулировать второй постулат просто как существование некоторой скорости, одинаковой во всех ИСО, а после вывода соответствующих преобразований — показать, что это предельная скорость (потому, что подстановка в эти формулы скоростей больше этой скорости приводит к мнимости координат).

Альтернативные аксиоматики[]

После построения Эйнштейном СТО на основе вышеуказанных постулатов, многие исследователи пытались отказаться от второго постулата вообще. Спустя 5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам Игнатовского^[9], Ф.Франка и Г.Роте^[10] (см. исторический очерк) стал известен способ получения общего вида (с точностью до неопределенной константы) преобразований Лоренца без использования второго постулата. При «правильном» знаке неопределенного параметра эти преобразования совпадают с преобразованиями Лоренца. Из этого следует наличие максимальной скорости, одинаковой во всех ИСО. Тем не менее, знак этой константы из предложенных аксиом никак не следует. Предлагается оценивать значение параметра экспериментально. Чтобы измерить этот параметр, а значит и фундаментальную скорость $c$ , нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Можно, например, на основе измерений скорости одного и того же объекта в разных ИСО и воспользоваться законом сложения скоростей с неопределенным параметром^[11]. Необходимо, однако, отметить, что экспериментальное «вычисление» знака неопределенной константы фактически эквивалентно предположению о наличии максимальной скорости, то есть по существу второму постулату.

Тем не менее, попытки аксиоматизации, в том числе без второго постулата, предпринимались позднее и другими исследователями. Существуют также аксиоматики, которые не используют принцип относительности — а только принцип постоянства скорости света. Более подробно с ними можно ознакомиться в статье А. К. Гуца^[12].

Преобразования Лоренца[]

Основная статья: Преобразования Лоренца

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта $S$ и $S'$ параллельны друг другу, $(t, x, y, z)$ — время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы $S$ , а $(t', x', y', z')$ — время и координаты того же события относительно системы $S'$ .

Общий вид преобразований Лоренца в векторном виде^[13], когда скорость систем отсчёта имеет произвольное направление:

{\displaystyle t'=\gamma\cdot \left(t-\frac{\mathbf{r}\mathbf{v}}{c^2}\right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \gamma\mathbf{v} t + (\gamma-1)\,\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v}) \mathbf{v}}{v^2}. }

где $\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2}$ — фактор Лоренца, $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}'$ — радиус-векторы события относительно систем S и S'.

Если сориентировать координатные оси по направлению относительного движения инерциальных систем (то есть в общие формулы подставить $\mathbf{r}\mathbf{v}=||\mathbf{r}|| ||\mathbf{v}||=r v$ ) и выбрать это направление в качестве оси $x$ (то есть так, чтобы система S' двигалась равномерно и прямолинейно со скоростью $v$ относительно S вдоль оси $x$ ), то преобразования Лоренца примут следующий вид:

t'=\frac{t-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c^2}\,x}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~ x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z,

где $c$ — скорость света. При скоростях много меньше скорости света ( $v\ll c$ ) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

t'=t,~~~~~~~~~~~ x'=x-vt,~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z.

Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).

Вывод преобразований Лоренца[]

Существует множество способов вывода преобразований Лоренца. Рассмотрим один из вариантов.

Предполагается, что начало координат системы $S'$ (в силу однородности пространства это может быть любая покоящаяся в этой системе точка) движется относительно системы $S$ со скоростью $v$ . Соответственно, начало координат (покоящаяся точка) системы $S$ движется в $S'$ со скоростью $-v$ . В целях упрощения дальнейшего изложения (а также самих конечных формул преобразования) будем исходить из предположения о совпадении начал отсчета обоих ИСО ( $t'=t=0$ , когда $x'=x=0$ ) и одинаковой ориентированности координатных осей таким образом, чтобы относительное движение ИСО было направлено вдоль оси $x$ (с противоположными знаками в разных системах). При относительном движении систем вдоль оси x можно считать, что $y'=y, z'=z$ (это можно также показать более строго), таким образом, фактически можно рассматривать преобразования для одномерного пространства и рассматривать только векторы двумерного пространства-времени $z=(x,t)$ .

Линейность преобразований[]

В силу однородности пространства и времени и изотропности пространства и принципа относительности преобразования от одной ИСО к другой должны быть линейными^[14]^[15]. Линейность преобразований можно также вывести предполагая, что, если два объекта имеют одинаковые скорости относительно одной ИСО, то их скорости будут равны и в любой другой ИСО,^[16] (при этом необходимо использовать также слабые предположения о дифференцируемости и взаимной однозначности функций преобразования). Если использовать только «определение» ИСО: если некоторое тело имеет постоянную скорость относительно одной инерциальной системы отсчёта, то его скорость будет постоянна и относительно любой другой ИСО, то можно показать только, что преобразования между двумя ИСО должны быть дробно-линейными функциями координат и времени с одинаковым знаменателем ^[10] ^[17].

Таким образом, если $\mathbf{x'}$ — пространственно-временной вектор в системе $S'$ , а $A$ -матрица искомого линейного преобразования, то $\mathbf{x}=A \mathbf{x'}$ . Матрица преобразования может зависеть только от относительной скорости рассматриваемых ИСО, то есть $A=A(v)$ . Исходя только из соглашений об относительной скорости движения систем отсчета можно установить общий вид (структуру) линейного преобразования и закона сложения скоростей:

${\displaystyle A(v)=\gamma(v) \begin{pmatrix} 1 & v \\ \beta(v) & 1 \\ \end{pmatrix}}$ и закон сложения скоростей $w'+v=w(w'\beta(v)+1)$

Доказательство

Рассмотрим движение из начала координат с постоянной скоростью $w'$ в системе $S'$ . Тогда $\mathbf{x}=(wt,t)^T, \mathbf{x'}=(w't',t')^T$ . Тогда

$(a_{11}w'+a_{12})t'=w t$ , $(a_{21}w'+a_{22})t'=t$

подставив второе в первое, получим закон сложения скоростей в следующем виде:

$a_{11}w'+a_{12}=w(w'a_{21}+a_{22})$ .

По определению начало координат системы $S'$ должно двигаться в $S$ со скоростью $v$ , а начало координат в $S$ должно двигаться относительно $S'$ со скоростью $-v$ . То есть если $w'=0$ , то $w=v$ , а если $w=0$ , то $w'=-v$ . Учитывая это получим: $a_{12}=v a_{22}, a_{12}=v a_{11}$ . Обозначив $\gamma=a_{11}=a_{22}$ , получим $a_{12}=v\gamma$ . Введем также обозначение $\beta=a_{21}/\gamma$ . Отсюда и получаем вид преобразования и закона сложения скоростей. Необходимо отметить, что если бы дополнительно использовалось предположение $t=t'$ , то сразу можно было бы получить классический закон сложения скоростей и преобразования Галилея. Однако, это предположение противоречит второму постулату.

Необходимо отметить, что если уже на этой стадии использовать второй постулат, то можно получить окончательный вид функции $\beta(v)$ . Однако, структуру матрицы (то есть функцию $\gamma(v)$ и $\beta(v)$ ) можно уточнить используя принцип относительности и изотропность пространства^[16] ^[18].

Вывод общего вида матрицы преобразования[]

Очевидно, если $\mathbf{x}=A \mathbf{x'}$ , то $\mathbf{x'}=A^{-1}\mathbf{x}$ . Поскольку преобразования должны быть одинаковыми для всех ИСО (принцип относительности), то $A^{-1}(v)=A(-v)$ , так как если система $S'$ движется относительно $S$ со скоростью $v$ , то это означает, что система $S$ движется относительно $S'$ со скоростью $-v$ . Таким образом

A(v)A(-v)=I

Подставив в это соотношение общий вид искомой матрицы $A$ , получим

$\gamma(v)\gamma(-v)=\frac{1}{1-v\beta(v)}$ , где $\beta(v)$ — нечетная функция.

Доказательство

В самом деле:

${\displaystyle A(v)A(-v)=\gamma(v)\gamma(-v) \begin{pmatrix} 1 & v \\ \beta(v) & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -v \\ \beta(-v) & 1\\ \end{pmatrix} = \gamma(v)\gamma(-v) \begin{pmatrix} 1+v\beta(-v) & -v+v \\ \beta(v)+\beta(-v) & 1-v \beta(v)\\ \end{pmatrix} }$

Поскольку последняя матрица должна быть единичной, то отсюда непосредственно следует, что $\beta(-v)=\beta(v)$ (нечетность) и $\gamma(v)\gamma(-v)(1-v\beta(v))=1$ . Следовательно

$\gamma(v)\gamma(-v)=\frac{1}{1-v\beta(v)}$ .

В силу изотропности пространства, смена координатных осей в противоположную сторону не должна влиять на вид зависимости между координатами в разных системах. Выбрав произвольный вектор $(x',0)$ , в другой системе отсчета получим $x=\gamma(v)x'$ . Поменяв координатную ось $x$ на противоположную в обеих системах — получим — $-x=\gamma(-v)(-x')$ . Но так как вид преобразования должен быть точно таким же, то $\gamma(v)=\gamma(-v)$ — четная функция. Следовательно $\gamma^2(v)=1/(1-v\beta(v))$ . Поскольку при $v=0$ преобразование должно быть тождественным, то $\gamma(0)=1$ . Следовательно при взятии квадратного корня необходимо использовать только положительный знак, то есть:

$\gamma(v)=1/\sqrt{1-v\beta(v)}$

Тем самым остается только уточнить функцию $\beta(v)$ . Это можно сделать сразу воспользовавшись вторым постулатом, однако, исходя из принципа относительности можно показать, что эта функция должна иметь вид $\beta(v)=\alpha v$ , где $\alpha$ — параметр, не зависящий от $v$ .

Доказательство

В самом деле, из принципа относительности следует, что преобразование координат от системы $S_1$ к системе $S_2$ , а затем к $S_3$ эквивалентно преобразованию от $S_1$ непосредственно к $S_3$ , причем законы преобразования одинаковы и зависят только от относительных скоростей этих систем. То есть

$A(v_3)=A(v_1)A(v_2)$

Подставим в это выражение полученный вид матрицы A:

${\displaystyle A(v_3)=\gamma(v_3) \begin{pmatrix} 1 & v_3 \\ \beta(v_3) & 1 \\ \end{pmatrix} =\gamma(v_1)\gamma(v_2) \begin{pmatrix} 1 & v_1 \\ \beta(v_1) & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & v_2 \\ \beta(v_2) & 1 \\ \end{pmatrix} =\gamma(v_1)\gamma(v_2) \begin{pmatrix} 1+v_1\beta(v_2) & v_1+v_2 \\ \beta(v_1)+\beta(v_2) & 1+v_2\beta(v_1) \\ \end{pmatrix} }$

Учитывая, что в первой матрице диагональные элементы одинаковы, то они должны быть одинаковы и в последней матрице, откуда следует, что $1+v_1\beta(v_2)=1+v_2\beta(v_1)$ . Следовательно

$\beta(v_1)/v_1=\beta(v_2)/v_2$

для произвольных скоростей $v_1$ и $v_2$ . Это означает, что $\beta(v)/v=\alpha=const$ - постоянная величина, не зависящая от скорости $v$ .

Следовательно, матрица преобразования и закон сложения скоростей имеют следующий вид (с точностью до неопределенного параметра):

${\displaystyle A(v)=\gamma(v) \begin{pmatrix} 1 & v \\ \alpha v & 1 \\ \end{pmatrix},~~}$ $\gamma(v)=\frac {1}{\sqrt{1-\alpha v^2}}$ и закон сложения скоростей $w=\frac {w'+v} {1+\alpha w' v }$

Численное значение параметра $\alpha$ и её знак невозможно вывести из вышеуказанных предположений^[19]. Для этого необходимо либо дополнительное предположение (из которого будет следовать знак $\alpha$ ), либо обращение к эксперименту (последнее необходимо в любом случае для установления конкретного значения $\alpha$ ). Если $\alpha=0$ , то получим классические преобразования Галилея, если $\alpha>0$ , то получаем искомые преобразования Лоренца (введя обозначение $\alpha =1/c^2$ ). Из дальнейшего анализа становится ясно, что в этом случае константа $c \,$ имеет смысл максимальной скорости движения любого объекта.

Использование второго постулата[]

Согласно второму постулату если $w'=\pm c$ , то $w=c$ по абсолютной величине. Второй постулат, вообще говоря, не позволяет непосредственно определить направление (знак) движения света в разных ИСО. Поэтому можно записать, что $w^2=c^2$ . Используя закон сложения скоростей можно показать, что $\alpha =1/c^2$ .

Доказательство

Возведя закон сложения скоростей в квадрат и подставив значения $w'=\pm c$ и $w^2=c^2$ получим:

$(v \pm c)^2=c^2(1 \pm \alpha c v)^2$

Следовательно

$v^2+c^2 \pm 2v c=c^2(1+\alpha^2 c^2v^2 \pm 2 \alpha c v)$

Отсюда

${\displaystyle v \pm 2 c=c^3 (\alpha^2 c v \pm 2 \alpha) }$

Вычитая из выражения со знаком "+" выражение со знаком "-" получим $4c=4c^3 \alpha$ , откуда и следует, что $\alpha =1/c^2$ .

Таким образом, окончательно получаем преобразование и закон сложения скоростей:

${\displaystyle A(v)=\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \begin{pmatrix} 1 & v \\ v/c^2 & 1 \\ \end{pmatrix}}$ и закон сложения скоростей $w=\frac {w'+v} {1+w' v /c^2}$

Для получения обратных преобразований (от $S$ к $S'$ ) достаточно вместо скорости $v$ подставить $-v$ .

Интервал[]

Интервалом между произвольными событиями называется квадратный корень следующей величины:

\Delta s^2 = c^2 \Delta t^2_{} - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2,

где $\Delta t=t_2-t_1,~\Delta x=x_2-x_1, ~\Delta y=y_2-y_1, ~\Delta z=z_2-z_1$ — являются разностями времён и координат двух событий.

Непосредственной подстановкой преобразований Лоренца можно убедиться, что интервал оказывается одинаковым во всех ИСО. Этот факт однако, можно показать и без использования полученных преобразований Лоренца, а используя только постулаты СТО^[20] (включая однородность и изотропность пространства и однородность времени).

Доказательство

Если интервал между событиями равен нулю в одной ИСО, то это означает, что период времени $\Delta t$ - это время (в данной ИСО) прохождения световым сигналом пути $l$ между пространственными координатами данных точек. В другой ИСО он проходит путь между этими точками (длина этого пути - $l'$ ) за некоторый другой период времени $\Delta t'$ , поэтому скорость, умноженная на $\Delta t'$ также должна быть равна $l'$ . Однако, согласно второму постулату скорость светового сигнала одинакова во всех ИСО, поэтому и во второй ИСО интервал будет равен нулю. Таким образом, непосредственно из второго постулата следует утверждение:

если

{\Delta s}^2=c^2{\Delta t}^2-{\Delta x}^2-{\Delta y}^2-{\Delta z}^2=0 \,

, то и в любой другой ИСО

\Delta s'^2=c^2{\Delta t'}^2-{\Delta x'}^2-{\Delta y'}^2-{\Delta z'}^2=0

,

Для бесконечно близких событий имеем $ds^2=c^2dt^2-dl^2$ и $ds'^2=c^2dt'^2-dl'^2$ . Пусть $ds'^2=a ds^2$ . В частности, если $ds=0$ , то и $ds'=0$ . В силу однородности и изотропности пространства и времени $a$ не может зависеть от пространственно-временных координат, а может зависеть только от относительной скорости систем отсчета. Она не должна также зависеть от направления относительного движения в силу изотропности пространства. В силу принципа относительности функция зависимости от относительной скорости должна быть универсальной, то одинакова для всех ИСО. Рассмотрим три системы отсчета $S, S_1, S_2$ где векторы скорости движения $S_1$ и $S_2$ в системе $S$ равны $\mathbf{v_1}$ и $\mathbf{v_2}$ . Рассмотрим некоторый интервал в этих трех системах отсчета:

$ds^2=a(v_1)ds^2_1, ds^2=a(v_2)ds^2_2, ds^2_1=a(v_{12})ds^2_2$

Отсюда $a(v_{12})=a(v_{1})/a(v_{2})$ . Однако, $v_{12}$ зависит не только $v_1$ и $v_2$ , но и от направления этих векторов, поэтому это соотношение возможно только если функция $a(v)$ от $v$ вообще не зависит, то есть является некоторой константой. Из этого же соотношения следует, что a=1. Это означает, что всегда выполнено соотношение

ds'^2=ds^2

Откуда следует, что $s'=s$ - значение интервала во всех ИСО одинакова, то есть интервал является инвариантом при переходе от одной ИСО к другой.

Если $\Delta s^2 > 0$ , то говорят, что события разделены времениподобным интервалом; если $\Delta s^2 < 0$ , то пространственноподобным. Наконец, если $\Delta s^2 = 0$ , то такие интервалы называются светоподобными. Светоподобный интервал соответствует событиям, связанным сигналом, который распространяется со скоростью света. Инвариантность интервала означает, что он имеет одинаковое значение относительно двух инерциальных систем отсчёта: $\Delta s^2=\Delta s'^2.$

Знак интервала, вообще говоря, можно выбрать произвольно. В первоначальной версии интервал записывался с обратным знаком (то есть пространственные координаты со знаком «+», а временная — «-»). В современной литературе чаще используют вышеприведенную формулу.

Сами преобразования Лоренца можно получить из их линейности и требования инвариантности интервала.

Доказательство

Рассмотрим для простоты также случай одномерного пространства. Инвариантность интервала означает, что $x^2-(ct)^2=x'^2-(ct')^2$ . Подставим в это выражение линейные преобразования:

$x=a_{11} x'+a_{12} c t'$

$ct=a_{21} x'+a_{22} c t'$

Получим

$x^2-(ct)^2=(a_{11} x'+a_{12} c t')^2-(a_{21} x'+a_{22} c t')^2=(a^2_{11}- a^2_{21})x'^2-(a^2_{22}-a^2_{12}) (c t')^2+ 2 (a_{11}a_{12}- a_{21}a_{22}) x' c t'=x'^2-(ct')^2$

Поскольку $x'$ и $ct'$ произвольны, то коэффициенты левой и правой частей должны быть тождественно равны. Следовательно

$a^2_{11}- a^2_{21}=1, a^2_{22}-a^2_{12}=1, a_{11}a_{12}- a_{21}a_{22}=0$

Из последнего равенства следует, что $a_{22}/a_{11}=a_{12}/a_{21}$ . Обозначим указанное отношение $\alpha$ . Кроме этого обозначим $a_{11}=\gamma$ , $a_{21}=b$ . Тогда $a_{22}=\alpha \gamma, a_{12}=\alpha b$ . Тогда первые два соотношения можно записать как

$\gamma^2-b^2=1, \alpha^2 \gamma^2- \alpha^2 b^2=1$

из которых следует, что во-первых $\alpha^2=1$ , во-вторых, $\gamma^2-b^2=1$ , откуда можно записать $\gamma^2=1/(1-b^2/\gamma^2)$ . Наконец введя для удобства обозначение $\beta=b/\gamma$ получим:

${\displaystyle A= \begin{pmatrix} \gamma & \pm \gamma \beta \\ \gamma \beta & \pm \gamma \\ \end{pmatrix} = \gamma \begin{pmatrix} 1 & \pm \beta \\ \beta & \pm 1 \\ \end{pmatrix}, \gamma=\pm \frac {1}{\sqrt{1-\beta^2}} }$

причем знаки в матрице либо положительные, либо отрицательные одновременно. Знак в формуле для $\gamma$ необходимо выбрать положительный, поскольку при нулевой относительной скорости систем матрица A должна быть единичной (системы идентичны в этом случае и преобразования тождественные). А если бы коэффициент в гамма был бы отрицательным это было бы невозможно (верхний диагональный элемент был бы равен -1, а должен 1). Поэтому однозначно можно утверждать, что $\gamma$ - положительное число.

Что касается знаков внутри матрицы и собственно значения $\beta$ то это можно установить, если взять начало координат системы $S'$ - вектор $(0,ct')$ и преобразовать его к системе $S$ и использовать соглашение о скорости движения $v$ :

${\displaystyle \begin{pmatrix} vt \\ ct \\ \end{pmatrix} = \gamma \begin{pmatrix} 1 & \pm \beta \\ \beta & \pm 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ ct' \\ \end{pmatrix} = \pm \gamma \begin{pmatrix} \beta ct' \\ ct' \\ \end{pmatrix}, }$

Разделив первое уравнение этой системы на второе получим $\beta = v/c$ . Что касается знака, то в виду положительности времени из второго уравнения следует, что знак должен быть положительным. Таким образом, окончательно имеем:

${\displaystyle A= \gamma \begin{pmatrix} 1 & v/c \\ v/c & 1 \\ \end{pmatrix}, \gamma=\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} }$

Геометрический подход[]

Четырёхмерное пространство-время[]

По своей форме интервал (особенно в первоначальной записи) напоминает расстояние в евклидовом пространстве, однако он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события. Следуя Минковскому и более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-координатами $(ct, x, y, z)$ . В простейшем случае плоского пространства метрика, определяющая расстояние между двумя бесконечно близкими точками, может быть евклидовой или псевдоевклидовой. Последний случай соответствует специальной теории относительности. Говорят, что интервал задаёт расстояние в псевдоевклидовом четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем Минковского.

Наиболее «простой» способ понимания и вывода преобразований Лоренца при таком подходе может быть получен, если записать интервал (с обратным знаком) используя «мнимую» временную координату — $ict$ :

\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2-c^2 \Delta t^2= \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2+ \Delta (ict)^2,

Тогда интервал выглядит как обычное евклидово расстояние между точками в четырехмерном пространстве. Как было показано, интервал должен сохраняться при переходе между ИСО, следовательно это могут быть либо параллельные переносы и инверсии (что не интересно), либо повороты в этом пространстве. Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве. Вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов, выглядят как переход в движущуюся систему отсчёта и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. При этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал), лежат на так называемом световом конусе (см. рисунок справа).

В первоначальной версии Минковского (с мнимым временем) формулы преобразований Лоренца выводятся довольно просто — они следуют из известных формул поворотов в евклидовом пространстве.

Вывод

Для этого достаточно понять, что тангенс угла между лучом, исходящим из начала координат (изображающий равномерное и прямолинейное движение) и осью $ict$ равен:

$\mathbf{tg} \phi=v/ic=-iv/c$

Уже из этого можно вывести закон сложения скоростей, используя формулу тангенса суммы углов (тангенс угла между двумя лучами, выражающими движения с некоторыми скоростями в данной системе, и выражает их относительную скорость движения). Если угол между системами равен $\psi$ , а угол между лучом движущегося тела и лучом системы $S'$ равен $\phi'$ , тогда для скорости w тела относительно системы S имеем:

$w/ic=\mathbf{tg} \phi=\mathbf{tg} (\phi'+\psi)=\frac {\mathbf{tg} \phi'+\mathbf{tg} \psi}{1-\mathbf{tg}\phi' \mathbf{tg} \psi}= \frac {w'/ic+v/ic}{1+w'v/c^2}$

Сократив $ic$ и получим закон сложения скоростей (заметим, что без i - в знаменателе получился бы "-").

Также несложно вывести выражения для косинуса и синуса угла:

$\cos \phi =1/\sqrt{1+tg^2\phi}=1/\sqrt{1-v^2/c^2}=\gamma(v)$

$\sin \phi =tg \phi \cos \phi = -iv/c \gamma$

Учитывая общую формулу поворотов в плоскости $(x,ict)$ в евклидовом пространстве получим:

$x=x' \cos \phi+i c t' \sin \phi=\gamma (x' +v t')$

$ict=ict' \cos \phi-x' \sin \phi=\gamma (ict' +ivx'/c)$

Разделив последнее на $ic$ получим

$t=\gamma (t' +vx'/c^2)$

Однако, современный подход заключается в введении четырехмерного пространства-времени (с вещественной временной осью $ct$ ) с псевдометрикой. В таком пространстве формулы поворотов имеют аналогичный вид, однако вместо тригонометрических функций нужно использовать гиперболические.

Вывод

В таком пространстве $th \phi=v/c$ . Закон сложения скоростей:

$w/c=th \phi =th(\phi'+\psi)=\frac {th \phi'+th \psi}{1+th \phi' th\psi}=\frac {w'/c+v/c}{1+vw'/c^2}$

Сократив скорость света, получим искомый закон сложения скоростей.

Повороты в этом пространстве в плоскости $(x, ct)$ описываются следующим образом

$x=x' ch \phi+ c t' sh \phi$

$ct=ct' ch \phi+x' sh \phi$

Учитывая, что $ch\phi=\frac {1}{\sqrt {1-th^2\phi}}=\frac{1} {\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma(v)$ и $sh \phi = th \phi ch \phi= \gamma(v) v/c$ и получим искомые преобразования Лоренца.

Геометрический подход Минковского и Пуанкаре был развит в 1914 году А. Роббом, который положил в основу аксиоматического построения СТО понятие о следовании событий. Данный подход был в дальнейшем развит А. Д. Александровым в работах 50-х — 70-х годов. Базовая аксиоматика предполагает^[12], что пространство-время является, во-первых, четырехмерным связным односвязным локально-компактным хаусдорфовым топологическим пространством с определенной на нем группой параллельных переносов (формально — транзитивной коммутативной группой гомеоморфизмов пространства на себя). Это означает, что оно является аффинным пространством с этой группой переносов. Во-вторых — и это самый принципиальный момент — каждой точке пространства-времени сопоставлены подмножества (содержащие кроме этой точки, также и другие)- так называемые «области воздействия» (или следования, последующих событий) точки — такие, что для любой другой точки области воздействия ее область воздействия входит в область воздействия данной точки. Данное предположение вводит отношение частичного порядка в пространстве времени — отношение следования или причинности. Данное отношение позволяет ввести понятие ограниченного множества (в смысле этого отношения порядка). Формально-математическим аналогом второго постулата СТО (ограниченности скорости передачи воздействия) в данном случае будет предположение об ограниченности пересечения «последующего» множества данной точки и «предшествующего» множества любой «последующей» точки. Эти предположения являются базовыми. Тем не менее, этих предположений оказывается недостаточно для получения преобразований Лоренца. Приходится делать дополнительные предположения о существовании группы взаимно-однозначных отображений, обладающих определенными свойствами по отношению к «областям воздействия». Вместе с этими дополнительными аксиомами указанная группа отображений фактически является группой Лоренца и тем самым могут быть введены декартовы координаты, псевдометрика и собственно явный вид преобразований Лоренца.

Геометрическая интерпретация пространства-времени позволяет формулировать СТО в ковариантной форме (см. ниже) на основе тензорного анализа. Именно геометрическая интерпретация является основой для обобщения теории относительности (общая теория относительности).

Пространство скоростей[]

Возможен ещё один подход, в котором постулируется геометрическая структура пространства скоростей. Каждая точка такого пространства соответствует некоторой инерциальной системе отсчёта, а расстояние между двумя точками — модулю относительной скорости между ИСО. В силу принципа относительности все точки такого пространства должны быть равноправными, а, следовательно, пространство скоростей является однородным и изотропным. Если его свойства задаются римановой геометрией, то существует три и только три возможности: плоское пространство, пространство постоянной положительной и отрицательной кривизны. Первый случай соответствует классическому правилу сложения скоростей. Пространство постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) соответствует релятивистскому правилу сложения скоростей и специальной теории относительности.

Групповой подход[]

Преобразования от одной системы отсчета к другой можно построить на аксиоматической основе, без уточнения структуры пространства-времени^[12]. Для этого вводят понятие множества «событий» $M$ . Инерциальные системы отсчета представляют собой некоторые отображения $S$ (взаимно-однозначные) «событий» в $R^4$ — в четырехмерное арифметическое пространство. Первые три числа — пространственные компоненты, последняя — время. Среди подмножеств $M$ выделяются инерциальные движения $I$ , которые определяются как подмножества, которые отображаются (при отображении $S$ ) в векторы, пространственные компоненты которого связанны с временной следующим образом $x_i=a_i+v_i t$ , где коэффициенты — константы. В частности, если все $v_i=0$ , то имеем покоящееся «инерциальное движение» (покоящееся тело). Собственно сами преобразования от системы $S'$ к $S$ представляют собой композицию $P=S S'^{-1}$ .

Далее необходимо формализовать понятие движения одной ИСО относительно другой. Говорят, что $S'$ покоится относительно S если «покоящееся тело» в $S'$ также покоится и в $S$ . В противном случае говорят, что $S'$ движется относительно $S$ . В первую очередь предполагается, что существуют ИСО, движущиеся относительно друг друга (аксиома 1).

Далее определим линейное преобразование $\phi$ в $R^4$ , пространственная часть матрицы которой которой представляет собой ортогональное преобразование, а из временной (четвертая строка и четвертый столбец) диагональный элемент равен 1, остальные нулю. Назовем это преобразование «пространственным поворотом» (чем он по сути и является). Предполагается (аксиома 2а), что для всякой системы отсчета $S'$ существует система $S$ , преобразование $P$ к которой представляет собой некоторый пространственный поворот $\phi$ , в частности (аксиома 2б), если $S'$ покоится относительно некоторой системы $S$ , то соответствующее преобразование $P$ является некоторым пространственным поворотом. Кроме этого, предполагается (аксиома 3), что для всякого инерциального движения $I$ существует другое инерциальное движение $I'$ , которое отображается в данной системе отсчета $S$ одинаково с точностью до некоторого пространственного поворота.

Наконец еще одно предположение (аксиома 4) заключается в том что для всякого преобразования $P$ между некоторыми инерциальными системами и для произвольной системы $S$ найдется такая система отсчета $S'$ , что преобразование от $S'$ к $S$ тождественно преобразованию $P$ .

Оказывается такая система аксиом приводит к тому что группа $G$ преобразований $P$ может быть либо галилеевой, либо имеет вещественный параметр $c > 0$ , что совпадает с неоднородной группой Лоренца.

Следствия преобразований Лоренца[]

Сложение скоростей[]

Основная статья: Сложение скоростей

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый объект имеет компоненты скорости $(u_x, u_y,u_z)\,$ относительно системы S и $(u'_x, u'_y,u'_z)\,$ — относительно S', то между ними существует следующая связь:

{\displaystyle u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},~~~~~~~~~~ u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2},~~~~~~~~~~ u'_z=\frac{u_z\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2}. }

В этих соотношениях относительная скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях ( $v\ll c$ ) переходит в классический закон сложения скоростей.

Если объект движется со скоростью света $u_x=c\$ вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S': $u'_x=c\$ . Это означает, что скорость $c \,$ является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

Замедление времени[]

Основная статья: Релятивистское замедление времени

Если часы неподвижны в системе $\textstyle S'$ , то для двух последовательных событий имеет место $\textstyle \Delta x'=0$ . Такие часы перемещаются относительно системы $\textstyle S$ по закону $\textstyle \Delta x=v\Delta t$ , поэтому интервалы времени связаны следующим образом:

\Delta t'=\Delta t\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}.

Важно понимать, что в этой формуле интервал времени $\textstyle \Delta t'$ измеряется одними движущимися часами $\textstyle S'$ . Он сравнивается с показаниями $\textstyle \Delta t$ нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе $\textstyle S$ , мимо которых движутся часы $\textstyle S'$ . В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы $\textstyle S'$ идут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов.

Если часы движутся с переменной скоростью $\mathbf{u}(t)$ относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т. н. собственное время) может быть вычислено по следующей формуле:

t'=\int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c^2}\cdot dt,

где при помощи интегрирования суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т. н. мгновенно сопутствующих ИСО).

Относительность одновременности[]

Основная статья: Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта $S'\$ , то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы $S\$ . При $\Delta t'=0$ из преобразований Лоренца следует

\Delta t = \frac{v}{c^2} \Delta x.

Если $\Delta x = x_2 -x_1 > 0$ , то и $\Delta t = t_2 - t_1 > 0$ . Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого $(t_2 > t_1)$ . Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

Пусть в двух системах отсчёта вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время.

Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S' (правый рисунок).

Сокращение линейных размеров[]

Основная статья: Лоренцево сокращение

Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно «неподвижной» системы отсчёта сокращаются:

l = l_0 \sqrt{1 - (v/c)^2}\

,

где $l = \Delta x\$ — длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а $l_0 = \Delta x'\$ — длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т. н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются.

Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением. При визуальном наблюдении движущихся тел дополнительно к лоренцевому сокращению необходимо учитывать время распространения светового сигнала от поверхности тела. В результате быстро движущееся тело выглядит повёрнутым, но не сжатым в направлении движения.

Эффект Доплера[]

Пусть источник, движущийся со скоростью v, излучает со скоростью света периодический сигнал, имеющий частоту $\nu_0$ . Эта частота измеряется наблюдателем, связанным с источником (т. н. собственная частота). Если этот же сигнал регистрируется «неподвижным» наблюдателем, то его частота $\nu$ будет отличаться от собственной частоты:

\nu = \nu_0 \cdot \dfrac {\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{1+\dfrac{v}{c} \cdot \cos \theta}

где $\theta$ — угол между направлением на источник и его скоростью.

Различают продольный и поперечный эффект Доплера. В первом случае $\theta=0$ , то есть источник и приёмник находятся на одной прямой. Если источник движется от приёмника, то его частота уменьшается $\nu<\nu_0$ (красное смещение), а если приближается, то частота увеличивается $\nu>\nu_0$ (синее смещение):

Поперечный эффект возникает, когда $\theta=\pi/2$ , то есть направление на источник перпендикулярно его скорости (например, источник «пролетает над» приёмником). В этом случае непосредственно проявляется эффект замедления времени:

\nu = \nu_0 \cdot \sqrt{1-v^2/c^2}.

Аналога поперечного эффекта в классической физике нет, и это чисто релятивистский эффект. В отличие от этого, продольный эффект Доплера обусловлен как классической составляющей, так и релятивистским эффектом замедления времени.

Аберрация[]

Аберрация света является видимым смещением объекта при относительном движении наблюдателя и этого объекта. Пусть в системе отсчёта S' источник света неподвижен, и находится под углом $\theta'$ к оси x'. Тогда в системе S, относительно которой система S' движется вдоль оси x со скоростью v, направление на этот источник света составит угол $\theta$ . В соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей, эти два угла связаны следующим образом:

{\displaystyle \cos \theta = \frac{\cos \theta' - \beta}{1- \beta\cos\theta'},~~~~~~~~~~~~ \sin \theta = \frac{\sqrt{1-\beta^2}\cdot \sin \theta'}{1- \beta\cos\theta'}, }

где $\beta = v/c$ .

Релятивистская динамика[]

Релятивистский лагранжиан[]

В классической механике законы движения можно вывести из вида лагранжиана механической системы на основе принципа наименьшего действия. Действие должно быть инвариантом относительно преобразований ИСО. Таким свойством обладает — интервал. Следовательно, общий вид действия в релятивистской механике

$S=-\alpha\int ds=-\alpha c \int^{t_2}_{t_1}\sqrt {1-u^2/c^2}dt$

Соответственно, лагранжиан должен быть равен:

$L=-\alpha c \sqrt{1-u^2/c^2}$

Параметр $\alpha$ необходимо определить из соображений совпадения (с точностью до константы) с лагранжианом свободной частицы классической механикой при малых скоростях (который равен просто кинетической энергии). Исходя из этого можно показать лагранжиан свободной релятивистской частицы имеет вид:

$L=-mc^2\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}$

На основе этого лагранжиана можно вывести динамику релятивистской частицы исходя из классический определений понятий через лагранжиан и уравнений Эйлера-Лагранжа.

Энергия и импульс[]

Momentum class rel — Релятивистский и классический импульс, m=1

Если частица с массой (покоя) $m$ движется со скоростью $\mathbf u$ , то её энергия и импульс имеют следующую зависимость от скорости:

{\displaystyle \mathbf{p} =\frac {\partial L}{\partial \mathbf{u}}= \frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle \mathbf{u}^2}{\displaystyle c^2}}}, ~~~~~~~~~~~~ E = \mathbf{p}\mathbf{u}-L=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle \mathbf{u}^2}{\displaystyle c^2}}}, }

Эти соотношения обобщают классические выражения для энергии и импульса, получающиеся в результате разложения в ряд по $\mathbf{u}^2/c^2$ :

{\displaystyle E \approx mc^2 + \frac{m \mathbf{u}^2}{2}+..., ~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} \approx m\mathbf{u}+... }

При нулевой скорости энергия частицы называется энергией покоя: $E_0 = mc^2\$ . В современной физической литературе принято, что m — масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной (то есть масса тела, состоящего из нескольких частей, в отличие от классической механики, не равна сумме масс этих частей). Понятие «релятивистской массы», зависящей от скорости $m(\mathbf{u})$ не используется ^[21] , хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму: $\mathbf{p}= m(\mathbf{u})\,\mathbf{u}$ .

При приближении скорости тела к скорости света его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные» объекты не способны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях, близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости u=c/4 относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3 %.

Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие связи:

E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4,~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} =   \frac{E}{c^2}\, \mathbf{u}.

Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса покоя должна быть равна нулю $m = 0$ .

Преобразования энергии и импульса[]

Аналогично преобразованиям Лоренца для времени и координат релятивистские энергия и импульс, измеренные относительно различных инерциальных систем отсчёта, связаны аналогичными соотношениями:

{\displaystyle E'=\frac{E-vp_x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~p'_x=\frac{p_x-vE/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},~~~~~~~~~~p'_y=p_y,~~~~~~~~~~p'_z=p_z, }

где компоненты вектора импульса $\mathbf{p}\$ равны $(p_x, p_y, p_z)\,$ . Относительная скорость и ориентация инерциальных систем отсчёта S, S' определены так же, как и в преобразованиях Лоренца.

Уравнения движения[]

Действующая на тело сила $\mathbf F$ изменяет его импульс. Поэтому второй закон Ньютона в форме

{\displaystyle \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F} }

остаётся справедливым также и в теории относительности. Однако производная по времени берётся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической:

\mathbf{F} = \frac{m\mathbf{a}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}+\frac{m\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\mathbf{a})/c^2}{(1-\mathbf{u}^2/c^2)^{3/2}}.

Первое слагаемое содержит «релятивистскую массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует перпендикулярно скорости. В ранних работах по теории относительности её называли «поперечной массой». Именно её «рост» наблюдается в экспериментах по отклонению электронов магнитным полем. Второе слагаемое содержит «продольную массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует параллельно скорости:

m_{||} = \frac{m}{(1-\mathbf{u}^2/c^2)^{3/2}}.

Как было отмечено выше, эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое уравнение движения Ньютона $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ .

Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела:

{\displaystyle \frac{dE}{dt}= \mathbf{u}\mathbf{F}. }

Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы, перпендикулярная к скорости частицы, не изменяет её энергию (например, магнитная составляющая в силе Лоренца).

Ковариантная формулировка[]

Метрический тензор[]

Расстояние между двумя бесконечно близкими событиями можно записать при помощи метрического тензора $g_{\alpha\beta}$ в тензорном виде:

ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha\,dx^\beta,

где $(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$ , а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 0 до 3. В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрический тензор имеет следующий вид:

{\displaystyle g_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right).}

Кратко эта диагональная матрица обозначается таким образом: $g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$ .

Выбор недекартовой системы координат (например, переход к сферическим координатам) или рассмотрение неинерциальных систем отсчёта приводит к изменению значений компонент метрического тензора, однако его сигнатура $\left(1,-1,-1,-1\right)$ остаётся неизменной. В рамках специальной теории относительности всегда существует глобальное преобразование координат и времени, которое делает метрический тензор диагональным с компонентами $g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}\left\{1,-1,-1,-1\right\}$ . Эта физическая ситуация соответствует переходу в инерциальную систему отсчёта с декартовыми координатами. Другими словами, четырёхмерное пространство-время специальной теории относительности является плоским (псевдоевклидовым). В отличие от этого, общая теория относительности (ОТО) рассматривает искривлённые пространства, в которых метрический тензор никаким преобразованием координат нельзя привести к псевдоевклидовому виду во всём пространстве, но сигнатура тензора сохраняется такой же.

4-вектор[]

Соотношения СТО могут быть записаны в тензорном виде при помощи введения вектора с четырьмя компонентами $A^\alpha = (A^0, A^1, A^2, A^3)$ (цифра или индекс вверху компоненты является её номером, а не степенью!), которые при переходе от одной инерциальной системы к другой преобразуются аналогично преобразованиям Лоренца. Нулевую компоненту 4-вектора называют временно́й, а компоненты с индексами 1,2,3 — пространственными. Они соответствуют компонентам обычного трёхмерного вектора, поэтому 4-вектор обозначается также следующим образом: $A^\alpha=(A^0, \mathbf{A})$ .

Компоненты 4-вектора, измеренные относительно двух инерциальных систем отсчёта, движущихся с относительной скоростью $v$ , связаны друг с другом следующим образом:

A'^0=\frac{A^0-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c}\,A^1}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~ A'^1=\frac{A^1-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c} A^0}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~A'^2=A^2,~~~~~~~~~~~A'^3=A^3.

Примерами 4-векторов являются:

4-координаты — точка в псевдоевклидовом пространстве-времени: $x^\alpha = (ct, x,y,z)=(ct, ~\mathbf{r}),$

4-скорость: $u^\alpha=\frac {dx^\alpha}{d\tau}=\gamma(u)(c, u_x,u_y,u_z)=\gamma(u)(c,\mathbf{u})$

4-импульс (энергия-импульс): $p^\alpha =m u^\alpha = (E/c, p_x,p_y,p_z)=(E/c, ~\mathbf{p}).$ .

Аналогичным образом можно определить 4-ускорение: $w^\alpha=\frac {du^\alpha}{d\tau}$ и 4-силу: $F^\alpha=\frac {dp^\alpha}{d\tau}$ .

При помощи метрического тензора можно ввести т. н. ковекторы, которые обозначаются той же буквой, но с нижним индексом:

A_\alpha = g_{\alpha\beta} A^{\beta}=g_{\alpha 0} A^{0}+g_{\alpha 1} A^{1}+ g_{\alpha 2} A^{2} + g_{\alpha 3} A^{3}.

Для диагонального метрического тензора с сигнатурой $g_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ , ковектор отличается от 4-вектора знаком перед пространственными компонентами. Так, если $A^\alpha=(A^0, \mathbf{A})$ , то $A_\alpha=(A^0, -\mathbf{A})$ .

Свёртка вектора и ковектора является инвариантом — имеет одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчёта:

g_{\alpha\beta}A^{\alpha} A^{\beta}=  A_\alpha A^\alpha = (A^0)^2-\mathbf{A}^2 = \mathrm{inv}.

Для 4-координат — инвариантом является интервал, для 4-скорости — квадрат скорости света, для 4-импульса (энергии-импульса)- это величина, пропорциональная квадрату массы (покоя):

p^2=p_\alpha p^\alpha = \frac{E^2}{c^2}-\mathbf{p}^2 = m^2 c^2

.

Экспериментальные основания СТО[]

Теория относительности является логически непротиворечивой теорией. Это означает, что из её исходных положений нельзя логически вывести некоторое утверждение одновременно с его отрицанием. Поэтому множество так называемых парадоксов (подобных парадоксу близнецов) являются кажущимися. Они возникают в результате некорректного применения теории к тем или иным задачам, а не в силу логической противоречивости СТО.

Справедливость теории относительности, как и любой другой физической теории, в конечном счёте, проверяется эмпирически. Специальная теория относительности лежит в основе всей современной физики. Поэтому какого-либо отдельного эксперимента, «доказывающего» СТО, нет. Вся совокупность экспериментальных данных в физике высоких энергий, ядерной физике, спектроскопии, астрофизике, электродинамике и других областях физики согласуется с теорией относительности в пределах точности эксперимента. Например, в квантовой электродинамике (объединение СТО, квантовой теории и уравнений Максвелла) значение аномального магнитного момента электрона совпадает с теоретическим предсказанием с относительной точностью $10^{-9}$ ^[22].

Фактически СТО является инженерной наукой. Её формулы используются при расчёте ускорителей элементарных частиц. Обработка огромных массивов данных по столкновению частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями в электромагнитных полях, основана на законах релятивистской динамики, отклонения от которых обнаружено не было. Поправки, следующие из СТО и ОТО, используются в системах спутниковой навигации (GPS, ГЛОНАСС). СТО лежит в основе ядерной энергетики и т. д.

Всё это не означает, что СТО не имеет пределов применимости. Напротив, как и в любой другой теории, они существуют, и их выявление является важной задачей экспериментальной физики. Например, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО) рассматривается обобщение псевдоевклидового пространства СТО на случай пространства-времени, обладающего кривизной, что позволяет объяснить большую часть астрофизических и космологических наблюдаемых данных. Существуют попытки обнаружить анизотропию пространства и другие эффекты, которые могут изменить соотношения СТО^[23]. Однако необходимо понимать, что если они будут обнаружены, то приведут к более общим теориям, предельным случаем которых снова будет СТО. Точно так же при малых скоростях верной остаётся классическая механика, являющаяся частным случаем теории относительности. Вообще, в силу принципа соответствия, теория, получившая многочисленные экспериментальные подтверждения, не может оказаться неверной, хотя область её применимости может быть ограничена.

Ниже приведены только некоторые эксперименты, иллюстрирующие справедливость СТО и её отдельных положений.

Релятивистское замедление времени[]

То, что время движущихся объектов течёт медленнее, получает постоянное подтверждение в экспериментах, проводимых в физике высоких энергий. Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе в CERN ^[24] с точностью $2\cdot 10^{-3}$ увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В данном эксперименте скорость мюонов была равна 0.9994 от скорости света, в результате чего время их жизни увеличилось в 29 раз. Этот эксперимент важен также тем, что при 7-метровом радиусе кольца ускорение мюонов достигало значений $10^{18}$ от ускорения свободного падения. Это, в свою очередь, свидетельствует о том, что эффект замедления времени обусловлен только скоростью объекта и не зависит от его ускорения.

Измерение величины замедления времени проводилось также с макроскопическими объектами. Например, в эксперименте Хафеле — Китинга проводилось сравнение показаний неподвижных атомных часов, и атомных часов, летавших на самолёте.

Независимость скорости света от движения источника[]

На заре возникновения теории относительности определённую популярность получили идеи Вальтера Ритца о том, что отрицательный результат опыта Майкельсона может быть объяснён при помощи баллистической теории^[15]. В этой теории предполагалось, что свет со скоростью $c$ излучается относительно источника, и происходит сложение скорости света и скорости источника в соответствии с классическим правилом сложения скоростей. Естественно, эта теория противоречит СТО.

Астрофизические наблюдения являются убедительным опровержением подобной идеи. Например, при наблюдении двойных звёзд, вращающихся относительно общего центра масс, в соответствии с теорией Ритца происходили бы эффекты, которые на самом деле не наблюдаются (аргумент де Ситтера). Действительно, скорость света («изображения») от звезды, приближающейся к Земле, была бы выше скорости света от удаляющейся при вращении звезды. При большом расстоянии от двойной системы более быстрое «изображение» существенно обогнало бы более медленное. В результате видимое движение двойных звёзд выглядело бы достаточно странным, что не наблюдается.

Иногда встречается возражение, что гипотеза Ритца «на самом деле» верна, но свет при движении сквозь межзвёздное пространство переизлучается атомами водорода, имеющими в среднем нулевую скорость относительно Земли, и достаточно быстро приобретает скорость $c$ .

Однако, если бы это было так, возникала бы существенная разница в изображении двойных звёзд в различных диапазонах спектра, так как эффект «увлечения» средой света существенно зависит от его частоты ^[25].

В опытах Томашека (1923 г.) при помощи интерферометра сравнивались интерференционные картины от земных и внеземных источников (Солнце, Луна, Юпитер, звёзды Сириус и Арктур). Все эти объекты имели различную скорость относительно Земли, однако смещения интерференционных полос, ожидаемых в модели Ритца, обнаружено не было. Эти эксперименты в дальнейшем неоднократно повторялись. Например, в эксперименте Бонч-Бруевича А. М. и Молчанова В. А. (1956 г.) измерялась скорость света от различных краёв вращающегося Солнца. Результаты этих экспериментов также противоречат гипотезе Ритца ^[26].

Независимость скорости света от скорости источника регистрируется и в наземных экспериментах. Например, проводилось измерение скорости пары фотонов, возникающих при аннигиляции электрона и позитрона, центр масс которых двигался со скоростью, равной половине скорости света. С экспериментальной точностью 10 % сложение скорости света и скорости источника обнаружено не было ^[27] ^[28] ^[29].

Исторический очерк[]

Основная статья: История теории относительности

Связь с другими теориями[]

Гравитация[]

Основная статья: Общая теория относительности

Для описания гравитации разработано особое расширение теории относительности, в котором допускается кривизна пространства-времени. Тем не менее, динамика даже в рамках СТО может включать гравитационное взаимодействие, пока потенциал гравитационного поля много меньше $c^2$ .

Следует также заметить, что специальная теория относительности перестает работать в масштабах всей Вселенной, требуя замены на ОТО.

Классическая механика[]

Теория относительности входит в существенное противоречие с некоторыми аспектами классической механики. Например, парадокс Эренфеста показывает несовместимость СТО с понятием абсолютно твёрдого тела. Надо отметить, что даже в классической физике предполагается, что механическое воздействие на твёрдое тело распространяется со скоростью звука, а отнюдь не с бесконечной (как должно быть в воображаемой абсолютно твёрдой среде).

Квантовая механика[]

Специальная теория относительности (в отличие от общей) полностью совместима с квантовой механикой. Их синтезом является релятивистская квантовая теория поля. Однако обе теории вполне независимы друг от друга. Возможно построение как квантовой механики, основанной на нерелятивистском принципе относительности Галилея (см. уравнение Шрёдингера), так и теорий на основе СТО, полностью игнорирующих квантовые эффекты. Например, квантовая теория поля может быть сформулирована как нерелятивистская теория^[30]. В то же время такое квантовомеханическое явление, как спин, последовательно не может быть описано без привлечения теории относительности (см. Уравнение Дирака).

Развитие квантовой теории всё ещё продолжается, и многие физики считают, что будущая полная теория ответит на все вопросы, имеющие физический смысл, и даст в пределах как СТО в сочетании с квантовой теорией поля, так и ОТО. Скорее всего, СТО ожидает такая же судьба, как и механику Ньютона — будут точно очерчены пределы её применимости. В то же время такая максимально общая теория пока является отдалённой перспективой.

См. также[]

История теории относительности
Теория относительности
Релятивистская механика
Парадокс близнецов
Переменная скорость света

Примечания[]

== ☀

== Читая знаменитую многократно-переизданную научно-популярную книжку математика М. Гарднера «Теория относительности для миллионов», а также статьи основателя этой теории Альберта Эйнштейна и другую подобную литературу, я иронично посмеиваюсь. Вроде умный был этот Эйнштейн, глубоко размышлял и много в физике сделал, начиная от объяснения фотоэффекта до реализации ядерной бомбы, а вот такую дурь выдумал – теорию относительности. Самое забавное, что эту математически формализованную изощренную чушь, высказанную свыше сотни лет назад, до сих пор обсуждают современные физики, пишут статьи и даже находят якобы неоспоримые подтверждения.

Почему я называю теорию относительности чушью? Ну, хотя бы потому, что в ней используются уравнения Лоренца, в которых фигурирует время, по умолчанию считавшееся непрерывным. У классических физиков XIX века, включая Лоренца, не было сомнений в том, что время непрерывно, существует само по себе и имеет векторное направление «в будущее».

Однако всякое движение прерывно. Например, стрелки часов вроде бы движутся непрерывно, но если присмотреться, то они передвигаются скачками, даже секундная стрелка. Движение дискретно, причём, любое движение. Непрерывность возникает лишь как математический предел. Это хорошо понимали Ньютон и Лейбниц, открывшие дифференциальное исчисление. Если мы хотим пользоваться понятиями времени и скорости не для грубого описания передвижения автомобиля по дороге, а для точных физических процессов (причем, не только квантовых), то параметр времени должен фигурировать в уравнениях как дискретный. Релятивисты ошибочно рассматривают время как континуум, сжимающийся при субсветовых скоростях. Хотя Эйнштейн прозорливо осознал, что многие процессы дискретны, квантованы (электронные переходы в атомах, излучение и т.д.), но до дискретности хода времени он, увы, не додумался.

То, что никакого непрерывного времени в природе нет, Лоренц и Эйнштейн не понимали. Эйнштейн даже использовал понятие четырехмерного «пространства-времени», паразитируя на математическом формализме Минковского. Современные физики делают примерно то же самое. Отсюда - спекуляции насчёт перемещений во времени, недоразумения по поводу замедления хода времени при субсветовых скоростях, дискуссии об обратимости времени и т.п.

Вторая ошибка Эйнштейна (да и не только Эйнштейна) – в смешении понятий «часы» и время». Слова «часы» и «время» ошибочно отождествляют, к сожалению, не только дилетанты, но и физики-профессионалы. Если вдуматься, то легко осознать, что существуют часы, но не время. Часы это не время. Время не часы. Часы – материальный объект, например, это циферблат со стрелкой. Время не объект, а количественная характеристика процесса движения объекта. Эйнштейн наивно отождествлял эти два понятия, рассматривая время как физический объект на примере часов, перемещающихся с субсветовой скоростью.

Движение стрелки часов, в принципе, можно обратить вспять, запустить часовой механизм «взад» нет проблем. Можно ли вернуться в прошлое? Нет. Потому что времени, как материальной сущности, в природе не существует. А что можно обратить вспять? Процессы. Например, переход молекулы под действием фотона в возбужденное состояние может привести (как один из вариантов) к полной деградации энергии кванта в тепло. Возврат молекулы в исходное невозбужденное состояние формально равносилен возврату времени (в отношении данной молекулы). Ведь если с молекулой ничего не произошло, то она идентична себе самой – той, которая была исходно. Если же рассматривать не отдельную молекулу, а молекулу в среде, то при деградации энергии эта среда изменилась, например, нагрелась или охладилась. В этом заключается термодинамическая необратимость. Хотя в природе нет никакого времени, как реального объекта, но мы пользуется абстрактным понятием времени, как удобным физическим параметром, характеризующим необратимость процессов и скорость этих процессов. Если мы хотим, чтобы математический аппарат, описывающий движение одного объекта относительно другого с использованием параметра «время», обрел некий физический смысл, мы должны говорить о дискретности времени и использовать соответствующие уравнения.

Третья ошибка Эйнштейна заключается в том, что в теории относительности он мысленно рассматривал два объекта, которые быстро (с субсветовыми скоростями) движутся в пустом пространстве, где кроме этих двух тел ничего нет. Но ведь реально два движущихся объекта всегда находятся не в пустоте, а во Вселенной, т.е. имеется третий объект – бесконечное множество атомов водорода, звёзд, планет, электромагнитных полей… Образно говоря, во Вселенной нет ни одного места, где Вселенной нет. Основываясь на отрицательном результате эксперимента Майкельсона-Морли, гениальный Эйнштейн правильно исключил из рассмотрения эфир, но заодно - глупо (гениальность и кретинизм – родные сёстры) выплеснул с эфиром всю Вселенную. Эйнштейн и его последователи незаконно перенесли мысленный опыт на реальность.

Четвертая ошибка заключается в пренебрежении взаимодействиями между двумя объектами. На самом-то деле любые два объекта всегда хоть как-то, но взаимодействуют, ибо энергия взаимодействия никогда не равна нулю даже на любых сколь угодно далёких расстояниях; взаимодействие отлично от нуля хотя бы в десятом знаке после запятой (гравитационное притяжение тел, кулоновское взаимодействие и т.п.). В практических целях этим обстоятельством в большинстве «земных» случаев можно пренебречь. Но, строго говоря, особенно для электромагнитных и гравитационных полей, это некорректно. Эйнштейн ошибочно твердил об универсальной локальности объектов и оппонировал Бору. Но Бор был абсолютно прав насчёт нелокальности, ведущей к тесной связи двух удалённых волновых пакетов, полученных при расщеплении исходного пакета. Это доказано экспериментально современной квантовой физикой.

Пятая ошибка в том, что вместо объективного физического времени Эйнштейн ввёл субъективное время, которое зависит от исследователя, двигающегося или не двигающегося относительно объектов. Верный тезис о невозможности провести одновременные измерения двух процессов в разных объектах, движущихся с разными субсветовыми скоростями, Эйнштейн подменил на сомнительный постулат о разном течении времени в двух системах, имеющих разную скорость. Правильней было бы говорить не о замедлении времени, а о замедлении процессов квантовых переходов, замедлении передачи энергии и т.д. И тогда формальное «замедление времени» было бы логически понятным и аргументированным.

Шестая ошибка в том, что Эйнштейн пользовался понятием «пространство», как физическим объектом. Во Вселенной нет никакого пространства. Есть материальные объекты, электромагнитные поля и тому подобное, но не пространство. Говорить о наличии пространства как такового в отсутствие материи это всё равно как сказать, что в природе существует нуль. Нуль существует в математике, как удобный параметр, означающий «ничто». В природе вообще нет никаких цифр. Цифры и буквы – суть символы, а не объекты. Эйнштейн как-то раз изрёк замечательный афоризм: «Человеческий мозг склонен принимать символ за реальность». Вполне самокритично.

Седьмая ошибка – использование понятия прямолинейного равномерного движения, веденного ещё Ньютоном. Увы, в природе не бывает движения, которое бы было и прямолинейным, и равномерным. Например, пешеход идёт не равномерно и не строго прямо. Каждый шаг – дискретное событие, причем, по отношению к планете Земля человек движется по окружности, ибо Земля не плоскость, а шар. Окружность аппроксимируется прямой линией только на малом участке пути. То же самое относится к любому движущемуся объекту на земле или в небе, будь то лошадь, телега, пуля или самолет. А ракета в космосе? Даже при межгалактических перелётах (не говоря уж о полётах на Луну) движение ракеты будет происходить не по идеальной прямой, т.к. космический корабль находится в притяжении двух или более небесных тел. Является ли полёт ракеты равномерным? На некоторых участках пути его можно в практическом смысле признать равномерным, хотя оно, строго говоря, не равномерно. Движение реальных объектов во Вселенной не подчиняется ни прямолинейности, ни равномерности. И даже падение яблока на голову Ньютона было не равномерное, а с ускорением.

Восьмая ошибка это постулат о том, что скорость света является предельной и постоянной. Разве не уменьшается меняется скорость света при попадании в среду с показателем преломления выше 1 (из вакуума – в стекло)? Уменьшается. А может ли существовать среда с показателем преломления меньше 1? Пока не известно. Но теоретически возможно. Значит, постулат Эйнштейна повисает в вакууме. А верно ли утверждение Эйнштейна, что субсветовые скорости нельзя складывать? По-моему, не верно. Например, если скорость ракеты 200 тыс. км в секунду, то две такие ракеты, согласно Эйнштейну, летят навстречу друг другу со скоростью не 400 тыс., а 300, т.е. 2 + 2 = 3. Вот такая забавная арифметика.

И девятая, самая грубая, ошибка – сам принцип относительности движения, который был введён ещё Галилеем. Движение относительно лишь в математическом смысле: жук ползёт по земле или земля ползёт под жуком – уравнения можно написать одинаковые. Но всё-таки здравый смысл правильно подсказывает, что именно жук ползёт по планете Земле, а не она по нему. Большая масса Земли чрезвычайно инерционна, в сравнении с массой жука. Инерция и гравитация – результат неоднородности Вселенной, её сильной анизотропии. Важно понять элементарную, но фундаментальную мысль: планеты, звёзды и другие материальные объекты распределены неоднородно, имеются скопления в определённых местах галактики (хотя они и движутся). И вся Вселенная не изотропна, ибо галактики расположены неоднородно. Полёт на ракете в сторону Солнца будет не эквивалентен полёту в сторону Сириуса, причём, и по силам тяготения, и по последствиям. Движение тел во Вселенной не относительно, оно абсолютно.

Таким образом, теория относительности Эйнштейна основана на ряде некорректных допущений и постулатов.

«Как же так!? – возмущенно удивится иной эмоциональный читатель, - ведь теория Эйнштейна доказана экспериментально!» Ничего подобного, - ответствую я ему. Например, расширение Вселенной, якобы подтвердившее теорию относительности, является мифом. Красное смещение излучения далёких звёзд, реликтовое излучение и прочие явления существуют, но легко объясняются без релятивизма (эту тему я рассмотрел в книге «Миллениум-мифы», 2012, с.8-17; см. также брошюру А.И. Староверова «От парадокса Эренфеста – к стационарности Вселенной», 2009).

Когда современные экспериментаторы наблюдают в ускорителях многократное увеличение времени жизни мюонов при субсветовых скоростях, они воспринимают сей факт как подтверждение релятивизма. Однако время жизни мюонов в этих опытах может зависеть не столько от скорости как таковой, сколько от устранения взаимодействия мюонов со средой, т.е. это может не иметь прямого отношения к теории Эйнштейна. Дело в том, что мюоны сами по себе являются довольно долгоживущими частицами, легко успевающими вступать во взаимодействия. При взаимодействиях время жизни сильно укорачивается. В ускорителе же мюоны попадают в условия, когда они практически свободны, не взаимодействуют со средой, вот почему и живут долго (кстати, мюоны в ускорителе движутся не по прямой и не равномерно). Другой пример. При поглощении светового кванта молекула красителя, находясь в воде, может иметь время жизни возбужденного состояния, например, 1 наносекунду, но в вакууме время жизни возрастёт, например, до 10 наносекунд и т.д. Хотя скорость молекулы красителя в вакууме гораздо выше, чем в растворителе, но она не субсветовая и никоим образом не является причиной увеличения времени жизни.

В науке довольно часто бывает, что ошибочные постулаты приводят к красивым математическим уравнениям, вроде бы неплохо описывающим реальность. Например, фундаментальные уравнения Максвелла про электромагнитные поля были выведены из неверных положений об эфире, токе смещения и прочем. В основе этих уравнений лежали не только блестящие опыты Фарадея, но и ошибочных опыты других исследователей. Уравнение Аррениуса (насчёт энергии активации и экспоненциальной зависимости скорости реакции от температуры) по физическому смыслу несостоятельно, но оно до сих пор используется в химии и биохимии. И так далее. По-видимому, примерно то же самое произошло с уравнениями Лоренца и Эйнштейна. Математика сильнее физики.

Убедительную критику теории Эйнштейна см. также на страничке www.antidogma.ru/library/standard.html Некоторые содержащиеся там

замечания совпали с моими (в.н.с. ИБК РАН Векшин Н.Л.)

Рассуждения этого автора справедливы, но "абсолютных знаний у человечества никогда не будет, будут только приблизительные знания, которые в перспективе имеют абсолютные знания". --137vai (обсуждение) 12:07, мая 15, 2015 (UTC)

↑ Впервые такие преобразования пространственно-временных координат получены Фогтом в 1887 году при исследовании эффекта Доплера (для света) как преобразования, сохраняющие уравнение колебаний упругой среды — светоносного эфира. Данная работа осталась незамеченной. Даже сам Фогт не использовал эти выводы в своей последующей статье того же года. Лоренц в 1892 и 1895 г. формально вводит понятие «местное время», которое примерно сохраняет неизменными уравнения Максвелла в движущейся системе отсчёта. В 1900 году Лармор в работе «Эфир и материя» опубликовал преобразования, сохраняющие уравнения Максвелла. Эти же преобразования уже в 1904 году переоткрыл Лоренц. «Преобразованиями Лоренца» их назвал впервые А. Пуанкаре, и это название закрепилось за ними.
↑ Гинзбург В. Л. Как и кто создал теорию относительности? в Шаблон:Книга:Эйнштейновский сборник
↑ Гинзбург В. Л. Как и кто создал теорию относительности? в Шаблон:Книга:Эйнштейновский сборник
↑ Шаблон:Книга:Сацункевич И. С.: Экспериментальные корни специальной теории относительности
↑ Шаблон:Книга:Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.: Гравитация
↑ Einstein A. «Zur Elektrodynamik bewegter Korper» Ann Phys.- 1905.- Bd 17.- S. 891. Перевод: Эйнштейн А. «К электродинамике движущегося тела» Шаблон:Книга:Эйнштейн А.: Собрание научных трудов
↑ Шаблон:Книга:Киттель Ч. Наит У. Рудерман М.: Механика
↑ «Принцип параметрической неполноты» в книге «Релятивистский мир»
↑ von W. v. Ignatowsky «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip» Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (русский перевод)
↑ ^10,0 ^10,1 von Philipp Frank und Hermann Rothe «Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme» Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855 (русский перевод)
↑ Мермин Н. Д. Теория относительности без постулата о постоянстве скорости света // Физика за рубежом. Серия Б. (1986)
Перевод работы
Mermin N. D. Relativity without light // Am. J. Phys., Vol. 52, No. 2 (1984) p. 119—124.
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 А. К. Гуц, «Аксиоматическая теория относительности», УМН, 37:2(224) (1982), с. 39—79.
↑ Шаблон:Книга:Паули В.: Теория относительности
↑ Шаблон:Книга:Матвеев А.Н.: Механика и теория относительности
↑ ^15,0 ^15,1 Шаблон:Книга:Паули В.: Теория относительности
↑ ^16,0 ^16,1 «Преобразования Лоренца» в книге «Релятивистский мир».
↑ Шаблон:Книга:Фок В.А.: Теория пространства времени и тяготения
↑ Шаблон:Книга:Терлецкий Я.П.: Парадоксы теории относительности
↑ Шаблон:Книга:Паули В.: Теория относительности
↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7. (см. ISBN )
↑ Окунь Л. Б. «Понятие массы», УФН, 1989, Выпуск 7. стр. 511—530. (статья)
↑ Бродский С., Дрелл С. Современный статус квантовой электродинамики, УФН, Т.107, В.1, (1972), с.57-98.
↑ Эфир возвращается?
↑ Bailey J. et al. — Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit, Nature, v.268, p.301-305 (1977)
↑ Шаблон:Книга:Сацункевич И. С.: Экспериментальные корни специальной теории относительности
↑ Шаблон:Книга:Сацункевич И. С.: Экспериментальные корни специальной теории относительности
↑ Sadeh D. Experimental Evidence for the Constancy of the Velocity of Gamma Rays, Using Annihilation in Flight, Phys. Rev. Lett. 10, 271—273 (1963).
↑ Сивухин Д. В. § 103. Независимость скорости света от движения источника // Общий курс физики. — М.: Наука, 1980. — Т. IV. Оптика. — 768 с. (см. ISBN )
↑ Франкфурт У. И., Френк А. М. Глава: Независимость скорости света от скорости источника // Оптика движущихся тел. (см. ISBN )
↑ Шварц А. С. Математические основы квантовой теории поля. М.: Атомиздат, 1975.

Всю СТО легко получить из уравнения ct = (c - v)T. Дайте почту пришлю доказательство. Это афера. Моя vtratnog@yandex.com Гонтарев В. С.

Литература[]

Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование, 1900—1915). М.: Наука, 1981. — 352 c.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7. (см. ISBN )

Паули В. Теория относительности. Изд. 2-е, испр. и доп. Перев. с нем. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
Спасский Б. И.. История физики. Том 2, часть 2-я. М.: Высшая школа, 1977.
Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Работы основоположников[]

Принцип относительности. Сб. работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
Г. А. Лоренц. Интерференционный опыт Майкельсона. Из книги "Versucheiner Theoriederelektrischenundoptischen Erscheinungeninbewegten Korpern. Leiden, 1895, параграфы 89…92.
Г. А. Лоренц.Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света. Proc Acad., Amsterdam, 1904, v 6, p. 809.
А. Пуанкаре. Измерение времени. «Revuede Metaphysiqueetde Morale», 1898, t. 6, p. 1…13.
А. Пуанкаре. Оптические явления в движущихся телах. ElectriciteetOptique, G. CarreetC. Naud, Paris, 1901, p. 535…536.
А. Пуанкаре. О принципе относительности пространства и движения. Главы 5…7 из книги «Наука и гипотеза»(H. Poinrare. Scienceand Hypothesis. Paris, 1902.)
А. Пуанкаре. Настоящее и будущее математической физики. Доклад, напечатанный в журнале «Bulletindes Sciences Mathematiques», 1904, v. 28, ser. 2, p. 302.
А. Пуанкаре. О динамике электрона. Rendicontidel Circolo Matematicodi Palermo, 1906.
А. Эйнштейн. К электродинамике движущихся тел. Ann. d. Phys.,1905 (рукопись поступила 30 июня 1905 г.), b. 17, s. 89.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1. Работы по теории относительности 1905—1920. М.: Наука, 1965.
Эйнштейн А. Сущность теории относительности. — М.: Изд. ин. лит., 1955. — 157 с.

Доп. литература[]

Угаров В. А. Специальная теория относительности. 2-е изд. М.: Наука, 1977.
Тоннела М. А. Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: ИЛ, 1962.
Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. М.: Наука, 1974.
Физическая энциклопедия, т.2 — М.: Большая Российская Энциклопедия. Физическая энциклопедия.

Ссылки[]

Релятивистский мир — лекции по теории относительности, гравитации и космологии
Общая и специальная теория относительности на сайте «Мир математических уравнений» EqWorld
Работы, описывающие структуру СТО и относительности синхронизации часов в ней: arxiv: gr-qc/0510024; arxiv: gr-qc/0510017; arxiv: gr-qc/0205039.
Статья о вкладе А. Пуанкаре в создание СТО: T. Damour: Poincare, Relativity, Billiards and Symmetry.

Выделить Специальная теория относительности и найти в:

Страница 0 - краткая статья
Страница 1 - энциклопедическая статья
Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
Прошу вносить вашу информацию в «Специальная теория относительности 1», чтобы сохранить ее

Комментарии читателей:[]

[1] Впервые такие преобразования пространственно-временных координат получены Фогтом в 1887 году при исследовании эффекта Доплера (для света) как преобразования, сохраняющие уравнение колебаний упругой среды — светоносного эфира. Данная работа осталась незамеченной. Даже сам Фогт не использовал эти выводы в своей последующей статье того же года. Лоренц в 1892 и 1895 г. формально вводит понятие «местное время», которое примерно сохраняет неизменными уравнения Максвелла в движущейся системе отсчёта. В 1900 году Лармор в работе «Эфир и материя» опубликовал преобразования, сохраняющие уравнения Максвелла. Эти же преобразования уже в 1904 году переоткрыл Лоренц. «Преобразованиями Лоренца» их назвал впервые А. Пуанкаре, и это название закрепилось за ними.

[Ginzburg-2] Гинзбург В. Л. Как и кто создал теорию относительности? в Шаблон:Книга:Эйнштейновский сборник

[3] Гинзбург В. Л. Как и кто создал теорию относительности? в Шаблон:Книга:Эйнштейновский сборник

[4] Шаблон:Книга:Сацункевич И. С.: Экспериментальные корни специальной теории относительности

[5] Шаблон:Книга:Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.: Гравитация

[6] Einstein A. «Zur Elektrodynamik bewegter Korper» Ann Phys.- 1905.- Bd 17.- S. 891. Перевод: Эйнштейн А. «К электродинамике движущегося тела» Шаблон:Книга:Эйнштейн А.: Собрание научных трудов

[7] Шаблон:Книга:Киттель Ч. Наит У. Рудерман М.: Механика

[param_incompl-8] «Принцип параметрической неполноты» в книге «Релятивистский мир»

[ignat-9] von W. v. Ignatowsky «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip» Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (русский перевод)

[frank-10] 10,0 ^10,1 von Philipp Frank und Hermann Rothe «Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme» Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855 (русский перевод)

[11] Мермин Н. Д. Теория относительности без постулата о постоянстве скорости света // Физика за рубежом. Серия Б. (1986)
Перевод работы
Mermin N. D. Relativity without light // Am. J. Phys., Vol. 52, No. 2 (1984) p. 119—124.

[Guts-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 А. К. Гуц, «Аксиоматическая теория относительности», УМН, 37:2(224) (1982), с. 39—79.

[13] Шаблон:Книга:Паули В.: Теория относительности

[matveev-14] Шаблон:Книга:Матвеев А.Н.: Механика и теория относительности

[pauli-15] 15,0 ^15,1 Шаблон:Книга:Паули В.: Теория относительности

[lorenz_synset-16] 16,0 ^16,1 «Преобразования Лоренца» в книге «Релятивистский мир».

[17] Шаблон:Книга:Фок В.А.: Теория пространства времени и тяготения

[18] Шаблон:Книга:Терлецкий Я.П.: Парадоксы теории относительности

[ReferenceA-19] Шаблон:Книга:Паули В.: Теория относительности

[20] Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7. (см. ISBN )

[21] Окунь Л. Б. «Понятие массы», УФН, 1989, Выпуск 7. стр. 511—530. (статья)

[22] Бродский С., Дрелл С. Современный статус квантовой электродинамики, УФН, Т.107, В.1, (1972), с.57-98.

[23] Эфир возвращается?

[24] Bailey J. et al. — Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit, Nature, v.268, p.301-305 (1977)

[25] Шаблон:Книга:Сацункевич И. С.: Экспериментальные корни специальной теории относительности

[26] Шаблон:Книга:Сацункевич И. С.: Экспериментальные корни специальной теории относительности

[27] Sadeh D. Experimental Evidence for the Constancy of the Velocity of Gamma Rays, Using Annihilation in Flight, Phys. Rev. Lett. 10, 271—273 (1963).

[28] Сивухин Д. В. § 103. Независимость скорости света от движения источника // Общий курс физики. — М.: Наука, 1980. — Т. IV. Оптика. — 768 с. (см. ISBN )

[29] Франкфурт У. И., Френк А. М. Глава: Независимость скорости света от скорости источника // Оптика движущихся тел. (см. ISBN )

[30] Шварц А. С. Математические основы квантовой теории поля. М.: Атомиздат, 1975.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

Специальная теория относительности

Создание СТО[]

Основные понятия и постулаты СТО[]

Основные понятия[]

Синхронизация времени[]

Согласование единиц измерения[]

Постулаты СТО[]

Альтернативные аксиоматики[]

Преобразования Лоренца[]

Вывод преобразований Лоренца[]

Линейность преобразований[]

Вывод общего вида матрицы преобразования[]

Использование второго постулата[]

Интервал[]

Геометрический подход[]

Четырёхмерное пространство-время[]

Пространство скоростей[]

Групповой подход[]

Следствия преобразований Лоренца[]

Сложение скоростей[]

Замедление времени[]

Относительность одновременности[]

Сокращение линейных размеров[]

Эффект Доплера[]

Аберрация[]

Релятивистская динамика[]

Релятивистский лагранжиан[]

Энергия и импульс[]

Преобразования энергии и импульса[]

Уравнения движения[]

Ковариантная формулировка[]

Метрический тензор[]

4-вектор[]

Экспериментальные основания СТО[]

Релятивистское замедление времени[]

Независимость скорости света от движения источника[]

Исторический очерк[]

Связь с другими теориями[]

Гравитация[]

Классическая механика[]

Квантовая механика[]

См. также[]

Примечания[]

Литература[]

Работы основоположников[]

Доп. литература[]

Ссылки[]

Комментарии читателей:[]

Fan Feed