Наука
Регистрация
Advertisement

В теории множеств счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, т. е. в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается как (читается: алеф-нуль)

Свойства[]

  1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно;
  2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно;
  3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно;
  4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно;
  5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия[]

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры[]

Множество рациональных чисел и множество алгебраических чисел счётны, однако множество вещественных чисел континуально и, следовательно, несчётно.

См. также[]

Advertisement