Траектория развития динамической системы на фазовой плоскости (в двумерном фазовом пространстве).

Фазовое пространствоматематике и физике) — совокупность всевозможных мгновенных состояний физической (в широком смысле) системы; а также пространство, элементы которого (фазовые точки) представляют («изображают») всевозможные мгновенные состояния системы; с математической точки зрения эти два объекта изоморфны, поэтому обычно не делают различия между состояниями системы и изображающими их фазовыми точками.

Механические системы[править | править код]

В случае механических систем фазовое пространство имеет четную размерность, координатами в нем являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы).

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

Динамические системы[править | править код]

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием. Оно не обязательно чётномерно и динамика на нём не обязательно задаётся уравнениями Гамильтона.

Случай нескольких систем[править | править код]

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, нужно задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, если точки образуют замкнутый контур, а система является гамильтоновой, то площадь контура не меняется во времени.

Примеры[править | править код]

Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.

Интерпретация состояния движущегося объекта как точки в фазовом пространстве разрешает парадокс Зенона. (Парадокс состоит в том, что если мы описываем состояние объекта его положением в конфигурационном пространстве, то объект не может двигаться.)

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределенностей эрмитовой и анти–эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем [1]. Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики [2]. Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

Ссылки[править | править код]

  1. Д.Кузнецов; Д.Ройлих (1997). "Квантовый шум при отображении фазового пространства". Оптика и Спектроскопия 82 (6): 990-995.  
  2. Ю.М.Широков (1979). "Квантовая и классическая механика в представлении фазового пространства". ЭЧАЯ 10 (1): 5–50.  

См. также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.