- Страница 0 - название энциклопедической статьи.
- Страницы 1, ... - доп. материал, связанный с энциклопедической статьей, указывать в "Ссылки".
- Страница: инфо , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25
Уточнение первого закона Кеплера и функция разделения[]
Рассмотрим взаимодействие двух тел массами m1 и m2 при условии, что m1 < m2. Как известно из классической механики, при обращении этих тел вокруг центра масс (ЦМ) они совершают движение по окружностям разного радиуса: m1 - r1, m2 - r2 (грубое приближение). Также известно, что отношение центростремительных ускорений (a1 / a2) прямо пропорционально отношению их расстояний до ЦМ (r1 / r2) и обратно пропорционально отношению их масс (m2 / m1):
- .
Кеплер при выводе своих трех законов сделал "несимметричный" переход от круговых орбит к [ http://ru.wikipedia.org/wiki/Эллипс эллиптическим]: Солнце S "остановил", а планету m "заставил" совершать эллиптическое движение вокруг Солнца, поместив Солнце в одном из фокусов - в точке F.
Ввиду того, что массы планет во много раз меньше массы Солнца ЦМ ≈ F ≈ S - совпадение трех точек.
Логичнее (= симметричнее) было бы "заставить" и Солнце двигаться по эллипсу вокруг центра масс. Тогда первый закон Кеплера несколько видоизменяется:
планета и Солнце двигаются вокруг центра масс по внешнему и внутреннему эллипсам:
- левый фокус внешнего эллипса - афелий внутреннего эллипса;
- центр масс - в правом фокусе внутреннего эллипса.
Следует здесь указать, что эллипсы Солнца и планеты находятся в одной плоскости. Точки O1, ЦМ и O2 могут и совпадать. Такое изменение первого закона Кеплера ведет к очередному пересмотру второго и третьего законов Кеплера.
Рассмотрим вывод двух полезных соотношений, вытекающих из уточненного первого закона Кеплера. На рисунке "Элементы орбит двух взаимодействующих тел" следующие обозначения:
- внешний эллипс с параметрами a1 (большая полуось), e1 (эксцентриситет);
- внутренний эллипс с параметрами a2 (большая полуось), e2 (эксцентриситет);
- центр масс с параметрами r1, r2 (расстояния от масс m1 и m2 до центра масс), e3 = m1 / m2 (можно трактовать как эксцентриситет центра масс), m1 < m2.
Для этих параметров можно составить следующие уравнения:
- r1 + r2 = a1 (1 + e1);
- m1 / m2 = r2 / r1 = e3;
- a2(1 + e2) = r2.
Путем несложных преобразований с ними можно получить соотношение:
Если e1, e2 ≈ 0 или e1, e2 << 1, то
Такой случай применялся при выводе аномального магнитного момента электрона (a1 → a0, a2 → rp, e3 = me / mp).
Рассмотрим вывод второго соотношения. Пусть орбиты тел m1 и m2 (эллипсы) рассматриваются по отношению к плоскости XOY, проходящей через центр масс (ЦМ). Начало системы координат - точка O - совпадает с центром масс. Тогда i - угол наклона плоскостей орбит m1 и m2 относительно XOY.
Как известно из ОТО, эллиптические орбиты тел вращаются в пространстве вокруг оси Z, т.е. перицентры и апоцентры орбит m1 и m2 совершают вращение. Точки A и E описывают в пространстве окружности разного диаметра или, иными словами, образуются плоскости апоцентра (верхняя плоскость - пунктирная овальная линия с радиусом KE) и перицентра (нижняя плоскость - пунктирная овальная линия с радиусом CD). Каждая точка орбиты m1 совершает колебательное движение по боковой поверхности усеченного конуса. Обозначим угол между образующей конуса ED и прямой EB (EB || OZ, EB - нормаль к плоскостям апоцентра и перицентра) через α.
Найдем связь между углами i и α.
- BD = AB - AD, AB = 2 a1 cos i, AD = 2 AC = 2 (2 a1 - r1) cos i.
- BD = 2 a1 cos i - 2 (2 a1 - r1) cos i.
- EB = 2 a1 sin i.
Тогда (для удобства записи: i = ι(йота))
Учитывая уравнения:
- ;
- ;
- ;
и после несложных преобразований находим:
- .
Подставляя это выражение в уравнение для tg α, получаем:
После преобразования приходим к уравнению:
Напомним, что углы α и i (ι) меняются от 0° и до 90°.
Найдем условие устойчивости орбиты тела m1 (= планетной орбиты). Введем дополнительные условия: Ω - угловая скорость вращения тела m1 по орбите, ω1 ≈ 0 - начальная угловая скорость всей массы облака - глобулы. Вращение тела m1 вокруг m2 (точнее - вокруг центра масс) происходит под действием силы тяготения F. Так как тело m1 вращается вокруг ядра (≈центр масс), значит, оно обладает кинетической и потенциальной энергиями относительно ядра. Ядро - первый нулевой уровень для вращающихся тел.
Глобула находится в плоскости диска Галактики. Поэтому в качестве второго нулевого уровня необходимо принять эту плоскость диска Галактика. В итоге мы имеем два нулевых уровня: образующееся ядро глобулы и плоскость диска Галактики. В случае Солнечной системы нулевой уровень (плоскость) почти совпадает с плоскостью эклиптики.
Ось Z - ось вращения вещества глобулы. ЦМ (≈ ядро глобулы) - первый нулевой уровень (= нулевая точка). Плоскость XOY (≈ плоскость диска Галактики) - второй нулевой уровень (= нулевая плоскость).
Наглядный пример: ванна с водой и с закрытым отверстием на дне. Когда отверстие закрыто пробкой - нулевой уровень = плоскость дна. После открывания отверстия - нулевой уровень = отверстие. Какое-то время они (нулевые уровни) сосуществуют вместе.
Пусть тело m1 находится в точке E (апоцентр). Вследствие вращения перицентра и апоцентра можно сказать, что на m1 действует сила F(ω) в плоскости апоцентра. ω - угловая скорость вращения апоцентра (относительно точки K). Определим проекции силы тяготения F, действующей на m1. Первую проекцию находим вдоль направления F(ω) - она все время параллельна нулевой плоскости. Обозначим ее F1. Вторую проекцию рассматриваем вдоль образующей ED усеченного конуса - F2.
Тогда условие устойчивости орбиты:
- M1 = M2 (вращающие моменты в точке E).
- M1 = (F(ω) + F1)(K - ЦМ).
- F(ω) = m1 ω12 KE. F1 = F cos i. KE = r1 cos i. (K - ЦМ) = r1 sin i.
Получаем:
Аналогично находим и M2:
- M2 = F2 (ЦМ - L).
- F2 = F sin (α + i). ЦМ - L = r1 cos (α + i).
Тогда
Получаем:
- .
Упрощение:
- .
Окончательно имеем:
- .
Производим замену m1 r1 / F, где F - сила притяжения между телами m1 и m2:
- .
Принимаем R = aср (среднее расстояние) между m1 и m2 . Расстояние между m1 и m2 в апоцентре:
- .
Расстояние между m1 и m2 в перицентре (АМ):
- .
Отсюда следует среднее расстояние между m1 и m2:
- aср = .
- aср = .
Тогда получаем:
- F = γ m1 m2 / aср2 =
или
- .
Продолжаем далее:
- = m1 r1 / [γ m1 m2 / aср2] = aср2 .
- aср2 r1 = .
Используя ранее выведенное
- ,
получим:
- aср2 r1 = .
Замена:
- ≠ 0.
Тогда
- aср2 r1 = и r1 aср2 / γ m2 = .
С другой стороны имеем:
- F = γ m1 m2 / aср2 и F = m1 v12 / aср.
- γ m1 m2 / aср2 = m1 v12 / aср.
Откуда
- v1 = (γ m2 / aср)1/2.
- T = 2 π aср / v1 = 2 π aср / (γ m2 / aср)1/2 = 2 π (aср3 / γ m2)1/2
или
- T2 = 4 π2 aср3 / γ m2.
Угловая скорость тела m1 по орбите:
- или = 4 π2 / (4 π2 aср3 / γ m2) = γ m2 / aср3.
Получаем
- aср3 / γ m2 = .
Подставляем вместо aср и имеем:
- aср3 / γ m2 =
или
- .
Тогда находим:
- ,
где
- ≠0.
Окончательно следует
- .
Рассмотрим полученные уравнения:
- ,
- ,
- .
Второе и третье уравнения более "бедные", т.е. они более простые и содержат меньше величин, что, в конечном итоге, дает меньше пищи для размышлений.
Проанализируем более подробно первое уравнение и назовем его функцией разделения.