Хи-распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Cлучайная величина $\xi$ имеет $\chi$-распределение с $\alpha$ степенями свободы $(\alpha >0)$, если

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2^{\alpha /2-1}\Gamma (\alpha /2)}}x^{\alpha -1}e^{-x^{2}/2},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{matrix}}\right..$

Характеристическая функция

$\varphi (t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha /2)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(i{\sqrt {2}}t)^{k}}{k!}}\Gamma \left({\frac {\alpha +k}{2}}\right).$

Свойства

• Моменты:

$\mathbf {E} \xi ^{k}={\frac {2^{k/2}\Gamma ((\alpha +k)/2)}{\Gamma (\alpha /2)}};$

• Дисперсия:

$\mathbf {D} \xi =\alpha +(2-{\sqrt {2}})\left[{\frac {\Gamma ((\alpha +1)/2)}{\Gamma (\alpha /2)}}\right]^{2}.$

Значение

Если $\xi _1, \xi _2, \ldots , \xi _n$ - независимые случайные величины, имеющие стандартое нормальное распределение, то $\xi ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}}}$ имеет $\chi$-распределение с n степенями свободы.

При n=2 $\chi$-распределение называется иногда распределением Рэлея (Рэлея-Райса).

При n=3 $\chi$-распределение называется распределением Максвелла и описывает распределение скоростей молекул разреженного газа.

См.также

• Теория вероятностей
• Распределение вероятностей