Хотеллинга распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Хотеллинга распределение (Хотеллинга T²-распределение) — непрерывное распределение вероятностей, сосредоточенное на положительной полуоси $(0, \infty)$ с плотностью

p(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)x^{\frac{k}{2}-1}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n-k+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)n^{\frac{k}{2}}},

где целочисленные параметры $n$ и $k$ называются степенями свободы, $1 \leq k \leq n,$ а $\Gamma(\cdot)$ — гамма-функция.

Свойства[]

При $k = 1$ T²-распределение сводится к распределению Стьюдента, а при любом $k > 1$ может рассматриваться как многомерное обобщение распределения Стьюдента в следуюшем смысле. Если $k$ -мерный случайный вектор $Y$ имеет нормальное распределение с нулевым вектором средних и ковариационной матрицей $\Sigma$ и если

S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{Z_i^T Z_i},

где случайные векторы $Z_i$ независимы между собой и от $Y$ и распределены так же, как $Y$ , то случайная величина $T^2=Y^T S^{-1} Y$ имеет распределение T²-распределение с $n$ степенями свободы ( $Y$ — вектор-столбец, $a^{T}$ — транспонирование). Если $k = 1$ , то

T^2=\frac{Y^2}{\frac{1}{n}\chi_n^2}=t_n^2,

где случайная величина $t_n^2$ имеет распределение Стьюдента с $n$ степенями свободы. Если при определении случайной величины T² допустить, что $Y$ имеет нормальное распределение с параметрами $(\nu, \Sigma)$ , а $Z_i$ — нормальное распределение с параметрами $(0, \Sigma)$ , то соответствующее распределение будет называться центральным Хотеллинга T²-распределением с $n$ степенями свободы и параметром центральности $\nu$ .

Значение[]

T₂-распределение используется в математической статистике в той же ситуации, что и t-распределение Стьюдента, но только в многомерном случае (см. Многомерный статистический анализ). Если результаты наблюдений $X_1,...,X_n$ представляют собой независимые нормально распределенные случайные векторы с вектором средних $\nu$ и невырожденной ковариационной матрицей $\Sigma$ , то статистика $T^2 - n(\overline{X}-\nu)^T S^{-1} (\overline{X}-\nu)$ , где $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{X_i}$ и $S=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})^T}$ , имеет T₂-распределение с $n-1$ степенями свободы. Этот факт положен в основу критерия Хотеллинга. Для численных расчетов используют таблицы бета-распределения или F-распределения Фишера, поскольку случайная величина $\frac{n-k+1}{nk} T^2$ имеет F-распределение с $k$ и $n-k+1$ степенями свободы.