Описание[]
"Шарнирный замок" - это название проблемы, возникающей при использовании Эйлеровых углов. Из-за того, что конечный результат серии вращений зависит от порядка промежуточных вращений, иногда случается, что вращение вокруг одной оси отображается на вращение вокруг другой оси. Когда оси двух шарниров оказываются параллельными друг другу, вы теряете одну степень свободы в этой системе. В этом случае может быть невозможно вращать объект вокруг желаемой оси.
Пример[]
Эйлер предложил одну и ту же ось использовать дважды и таким образом описать все возможные повороты. То есть, поворот относительно Z, потом X, а потом опять Z. Например, если горизонтальный плоский диск повернуть на 90 градусов относительно Y, а потом относительно X, то плоскость диска будет параллельна Y, а вектор нормали будет параллелен X. Однако, если сначала произвести поворот относительно X, а затем уже относительно Y, то плоскость диска будет параллельна X, а вектор нормали будет параллелен Y. Таким образом, разная последовательность одинаковых поворотов даёт совершенно разный результат. Аналогично, если объект последовательно вращается вокруг Z (на небольшой угол), Y, X - осей, и угол вращения вокруг оси Y равен 90 градусам. В этом случае вращение вокруг оси Z происходит первым и, поэтому, корректно. Вращение вокруг оси Y тоже совершается корректно. Однако после вращения вокруг оси Y на 90 градусов, ось X отображается на ось Z. Таким образом, совершая вращение вокруг (относительной) X-оси мы фактически вращаем объект вокруг (абсолютной) оси Z.
Решение проблемы[]
Полностью избавиться от проблемы можно при помощи Алгоритма нормализованного 3D поворота. Задача решается средствами векторной алгебры, в случае полного определения плоскости и траектории вращения каждой из точек 3D объекта. Перемещение точки вычисляется в афинной системе координат. Все плоскости вращения удерживаются единым вектором нормали. Алгоритм обеспечивает корректный пересчёт углов вращения (собственного вращения, прецессии и нутации) и позволяет избежать "шарнирного замка", возникающего при использовании эйлеровых углов в классической 3D матрице поворота. Тем самым отменяется необходимость в использовании тензоров и кватернионов поворота при построении 3D сцены кругового движения и круговом обзоре трёхмерного объекта. Алгоритм нормализованного 3D поворота позволяет корректно решать задачи из серии Three-stage gyro (Трехстепенный гироскоп), в которых даже при использовании кватернионов может возникать блокировка вращения, когда во время вращения вокруг двух или более осей оси оказываются расположенными параллельно друг другу, что приводит к получению непредвиденных результатов.
Ссылки[]
- А.Панов. Алгоритм нормализованного 3D поворота (Вычисление окружности в 3D).
- А.Панов. Проблема "шарнирного замка".
См. также[]
Матрицы вращения
Матрица вращения употребляется для вращения набора точек в пределах координатной системы. В то время, как каждая точка получает новые координаты, относительные расстояния между ними не меняются. Все вращения определяются с помощью тригонометрических функций - синусов и косинусов.
Эйлеровы углы вращения
Эйлеровыми углами называют углы, определяющие положение прямоугольной декартовой системы координат относительно другой прямоугольной декартовой системы координат с тем же началом координат и с той же ориентацией. Угол собственного вращения - вокруг оси OZ, угол прецессии - вокруг оси OZ1, угол нутации - вокруг линии узлов ОК. На самом деле, углы Эйлера не являются углами поворотов относительно X, Y и Z.
Кватернионы и повороты пространства
Кватернионы (quaternions) предоставляют удобное математическое обозначение положения и вращения объектов в пространстве. Кватернионы решают проблему последовательного вращения объекта вокруг осей в заданном порядке в Эйлеровых углах. Вместо того, чтобы задавать вращение объекта как серию последовательных вращений, кватернионы позволяют вращать объект вокруг произвольной оси на произвольный угол. Кватернионы позволяют сделать плавные и предсказуемые повороты. В ориентации кватерниона используются комплексные числа. Ориентация кватерниона представляется тремя осями поворота (x,y,z) и углом поворота (w). Гиперсферическое пространство трёхмерных вращений может быть охарактеризовано тремя углами (углами Эйлера), однако любое такое представление начинает вырождаться на некоторых точках гиперсферы. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершённого вращения по другим осям. В сравнении с матрицами они обладают большей вычислительной устойчивостью и могут быть более эффективными. Кватернион обеспечивает кратчайший, наиболее эффективный контур вращения. Он также позволяет выполнять сглаживание без эффекта «шарнирного замка». Блокировка вращения может произойти, когда во время вращения вокруг двух или более осей оси оказываются расположенными параллельно друг другу, что приводит к получению непредвиденных результатов.
Волчок Лагранжа
Юла (волчок Лагранжа) представляет собой осесимметричное тело вращения с одной точкой опоры. Юла одновременно вращается вокруг собственной оси, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикали, проходящей через точку опоры.
Трехстепенный гироскоп
Трехстепенный гироскоп представляет из себя три кольца – внутреннее, среднее, наружное, которые соединены так, что внутреннее кольцо может свободно вращаться относительно среднего вокруг оси, среднее кольцо вращается относительно внешнего вокруг оси, внешнее же кольцо вращается вокруг неподвижной оси.