Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям |
Вряд ли кто сомневается в насущной необходимости разобраться и понять многообразие статистических взаимосвязей случайных событий, происходящих в сложных статистических системах природы и общества. В существующих до сих пор теориях не в полной мере учитываются взаимосвязи и взаимозависимости случайных событий: зачастую взаимосвязи вообще не принимаются в расчет (предположение независимости событий), реже учитываются парные взаимосвязи, а анализу взаимосвязей более высоких порядков посвящены редкие единичные работы, в каждой из которых применяется весьма специфический и частный метод.
Эвентология занимается изучением многообразия взаимосвязей случайных событий и разработкой методов определения структуры зависимостей сложных распределений большой размерности. В данной статье рассматривается один из таких методов.
В статье рассматривается связь между мультковариациями случайного множества и эвентологическими копулами. Копулы используются в финансовых приложениях с 1991 года. Они позволяют моделировать структуру зависимости непосредственно из маргинальных распределений. Таким образом, мы можем строить многомерное распределение с различными маргиналами и структурой зависимости, заданной копулой.
Мультковариации случайного множества[]
Одной из важнейших задач эвентологии остается разработка методов определения структуры зависимостей сложных распределений большой размерности. И ее решение имеет большое значение как для науки в целом, так и для отдельных сфер приложения, таких как экономика и статистика. Существующие ныне методы, применяемые на практике, пока не так эффективны и универсальны как нам того хотелось бы.
Прежде чем перейти к понятию мультковариационные эвентологические копулы, рассмотрим понятие мультковариации.
Рассматриваются свойства энергии так называемых мультковариационных Эвентологических распределений (Э-распределений) случайных множеств событий, которые максимизируют энтропию случайного множества событий при определенных ограничениях. Рассматривается связь данных Э-распределений с мультковариациями. Можно определять классы Э-распределений случайных множеств событий, имеющих максимальную энтропию среди вполне определенных подмножеств Э-распределений, которое "вырезается" из множества всех Э-распределений теми или иными ограничениями. Под энтропией случайного множества событий с Э-распределением понимается величина
Энтропия принимает наибольшее значение, когда равны между собой и неопределенность в испытании максимальна. Энтропия может иметь не один, а несколько максимумов, при этом система будет иметь несколько состояний равновесия. Равновесие, которому соответствует наибольший максимум энтропии, называется абсолютно устойчивым.
Ограничения обычно могут накладываться на вероятность (вероятности значений):
на надвероятности (вероятности покрытий):
или на подвероятности (вероятности включений):
Известно, что абсолютный максимум энтропии достигается на равномерном Э-распределении:
Также известен факт, что условный максимум энтропии распределения случайных конечных абстрактных множеств (СКАМ) при фиксированных вероятностях покрытия случайного множества
достигается на классическом независимо-точечном Э-распределении (зафиксированы только вероятности моноплетов ):
В работе решается общая задача поиска условного максимума энтропии случайных конечных абстрактных множеств (СКАМ), при постоянных вероятностях покрытия множеств мощности меньшей или равной n, а также при ограничениях на область определения случайного множества.
Максимизация энтропии при фиксированных вероятностях покрытия[]
Зафиксируем вероятности покрытия случайных конечных абстрактных множеств для всех множеств мощности меньшей или равной :
Найдем распределение СКАМ, которое максимизирует энтропию при таких ограничениях. Для этого запишем энтропию через вероятности покрытия случайного множества. Вероятности значений СКАМ выражаются через вероятности покрытия по формуле обращения Мёбиуса:
Отсюда получаем следующее выражение для энтропии:
Для нахождения максимума приравняем к нулю частные производные по , .
Немного преобразуя выражение, получим следующую систему уравнений для вероятностей значения случайного множества:
где -мультиковариация случайного множества .
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. В классе распределений СКАМ, удовлетворяющих следующим условиям:
максимум энтропии достигается на распределении, для которого:
Такие распределения будем называть n-точечно зависимые или многоточечно зависимые распределения.
Из известного факта,что любое распределение СКАМ можно представить в виде произведения мультиковариаций:
сразу следует следующее следствие.
Следствие. n-точечно зависимое распределение СКАМ представлятся в виде:
Максимизация энтропии при фиксации области определения СКАМ[]
Допустим, что случайное множество может принимать только ограниченное количество значений, т.е.
При таких условиях максимум энтропии достигается на следующем распределении:
Как и в предыдущей секции дополнительно зафиксируем вероятности покрытия для всех множеств мощности меньшей или равной :
Аналогичными рассуждениями можно доказать следующую теорему:
Теорема. В классе распределений СКАМ, удовлетворяющих следующим условиям:
и
максимум энтропии достигается на распределении вида
где находятся из условий на вероятности покрытия и том факте, что
Рассмотрим примеры применения этой формулы для конкретных n при условии:
Примеры:
1. При n=0 получаем равномерное Э-распределение:
2. При n=1 получаем независимо-точечное Э-распределение:
Мультковариационные Э-копулы[]
На основе понятий мультковариации и Э-копулы вводится новое понятие – мультковариационные Э-копулы, которые связывают вероятности пересечений множеств событий с мультковариациями множества событий.
Вероятности пересечения произвольных подмножеств событий выражаются через мультковариационные эвентологические копулы по формулам:
Один из частных видов - независимые мультковариационные Э-копулы:
Приведенные формулы достаточно просты для вычислений.
Литература[]
- Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование. - М.: Наука. - 1984. - 133с.
- Воробьев О.Ю. Сет-суммирование. - Новосибирск: Наука. - 1993 - 137с.
См.также[]
- Копула
- Эвентологическая копула
Категория:Эвентология
Категория:Математическая эвентология
Категория:Эвентологический словарь
Категория:Незавершённые статьи по эвентологии