Ивентология Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Для того чтобы наиболее точно описать рынок и всевозможные связанные с ним события, необходимо включить в описание рыночных агентов (продавцов и потребителей), как один из главных источников неопределенности. Именно эвентология дает нам такую возможность. Рассмотрим рынок в эвентологическом пространстве .

Гиббсовское Э-распределение событий-спросов[править | править код]

В теореме о замораживании и разогревании спроса предлагается заданным Гиббсовское Э-распределение событий-спросов:

, (1)

где — множество товаров на рынке,

— подмножество товаров, ,

вероятность покупки рыночным агентом подмножества товаров ,

— неотрицательная величина, имеющая смысл обратной покупательной способности рыночного агента,

— неубывающая функция ценности подмножества товаров ,

) — распределение вероятностей собственных вкусов и предпочтений рыночного агента.

— нормирующий множитель.

При стремлении к нулю или бесконечности распределение ) меняется и стремится к некоторому предельному Э-распределению ).

Распределение вероятностей определяет структуру зависимостей событий из множества . Предлагается рассмотреть распределение для трех "основных" структур зависимостей (вложенной, независимой и не пересекающейся) и посмотреть к какому распределению стремится распределение при стремлении к нулю или к бесконечности.

При распределение стремится к распределению при любой структуре зависимостей событий, определяемой распределением .

При играет роль подмножество , такие подмножества , на которых функция ценности ) принимает минимальные значения.

Можно рассмотреть 2 случая :

1. Больцмановское распределение.

2. Гиббсовское распределение.


Больцмановское Э-распределение[править | править код]

, (2)

где — фактор Больцмана. Распределение (2) получается из распределения (1), когда — равномерное. Все вероятности , т.к. поэтому можно рассматривать любые структуры зависимостей, кроме тех, у которых некоторые вероятности равны нулю, т.е. либо независимые, либо произвольно зависимые.

Рассмотрим Больцмановское независимое распределение:

1) При в пределе получим равномерное распределение с вероятностями , где -- мощность , т.е. независимое, причем вероятность каждого события будет .


2а) Если , то в пределе в частном случае, если и ценность , и вероятность на всех подмножествах принимают различные значения, получается вырожденное распределение, и вероятность этого значения равна единице, т.к. в этом случае ценность принимает единственное минимальное значение .


2б) в общем же случае независимого распределения ценность определяется только ценностями исходных событий из

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x)=\exp \Big\{ -\beta \mathcal{V}(X)\Big\},\\\ P(x^{c})=1-\exp \Big\{ -\beta \mathcal{V}(X)\Big\}}

При этом могут возникнуть ситуации, когда ) одно и то же для разных .(Например, если для всех , то получаем равномерное распределение, т.е. все ценности равны между собой ). Таким образом, совпадение значений зависит от того, каковы значения исходных вероятностей . Допустим, что функция ценности принимает минимальное значение на , тогда распределение становится равномерным на этих подмножествах с вероятностями , а на остальных подмножествах вероятности принимают нулевые значения.

Итак, при в частном случае получаем вырожденное распределение, а в общем случае — распределение является равномерным на .

Гиббсовское Э-распределение[править | править код]

Рассмотрим три случая:


определяет структуры событий:

1) вложенную,

2) независимую,

3) не пересекающуюся

Вид предельного распределения зависит от того, на каких событиях-террасках ценность достигает минимального значения, потому что на остальных событиях-террасках вероятность в пределе равна нулю. Таким образом, при вложенная и не пересекающаяся структуры событий сохраняются, а независимая структура событий иногда сохраняется, а иногда становится произвольно зависимой.

Попробуем связать 2 способа изображения распределения спроса .

Сначала сделаем следующее предположение о виде распределения : монотонно зависит от ценности и должна быть обратно пропорциональна ей.

— соответствует обратной покупательной способности, т.е. рыночному состоянию агента, можно сказать, что определяет рыночный статус агента.

А) Если ценность принимает минимальное значение лишь на одном подмножестве , то кривые и — строго монотонно убывающие.

Б) если же ценность имеет одинаковые минимальные значения на некоторых подмножествах , то графики кривых и ) имеют ступеньки.


В случае, когда распределение стремится к распределению .

В случае, когда

А) если принимает минимальное значение лишь на одном подмножестве , то предельное распределение в обеих плоскостях ( и , имеет вырожденный вид — одна точка, вероятность которой равна 1.


Б) если же ценность имеет одинаковые минимальные значения ) на , некоторых подмножествах , то предельное распределение в плоскости становится равномерным на этих подмножествах с вероятностями , а на других принимает значения, равные нулю. В плоскости график превращается в точку, в которой склеиваются событий-террасок с . Вероятность каждой из которых и в сумме они дают 1.

Антигиббсовское Э-распределение событий-предложений[править | править код]

Выше были рассмотрены графики предельных Э-распределений событий-спросов на множество товаров . Предполагается, что распределение событий-предложений определяется противоположным гиббсовским Э-распределением, имеющим "симметричный" Гиббсовскому распределению вид:

где

— множество товаров на рынке,

— подмножество товаров,

вероятность предложения рыночным агентом подмножества товаров ,

— неотрицательная величина, имеющая смысл обратной производительной способности рыночного агента,

— неубывающая функция ценности подмножества товаров,

— распределение вероятностей собственных вкусов и предпочтений рыночного агента,

— нормирующий множитель.

Аналогичным образом можно рассмотреть предельные распределения событий-предложений при стремлении к нулю или к бесконечности. Заметим, что в силу симметричности распределений при стремлении к бесконечности вместо , подмножеств , на которых функция ценности имеет минимальное значение, играют роль , подмножества , на которых функция ценности имеет максимальное значение .

Совместив на одной плоскости графики Э-распределений событий-спросов и событий-предложений, получим так называемый Э-крест, который определяет совместное Э-распределение событий-спросов и событий-предложений:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\cr»): {\displaystyle p^{\downarrow\uparrow}(X,Y)= \begin{cases} p^\downarrow(X)p^\uparrow(Y)-\mathrm{Kov}^{\downarrow\uparrow}(X,Y), & X=Y,\cr p^\downarrow(X)p^\uparrow(Y), & X \not= Y. \end{cases}}

Здесь

— вероятность пересечения террасок событий-спросов и событий-предложений

— множество событий-спросов,

— множество событий-предложений

Это совместное Э-распределение зависит от функции ценности . Скорее всего, функцию ценности можно определить следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\cr»): {\displaystyle \mathcal{V}(X,Y)= \begin{cases} \mathcal{V}(X), & X=Y,\cr 0, & X \not= Y. \end{cases}}

Если под ценностью понимать ценность сделки , то она представляет собой , когда событие-спрос и событие-предложение совпадают и равна нулю, если эти события не совпадают, т.к. в последнем случае сделка не осуществляется.

Заметим, что пара графиков Э-распределений событий-спросов и событий-предложений позволяет найти точку рыночного равновесия, как в экономикс. Если же рассмотреть вместе с этими кривыми еще пару кривых: кривую совпадения событий спроса и предложения и кривую различия событий спроса и предложения , то можно получить интервал равновесия, который определяется максимумом и минимумом этих кривых соответственно. Все четыре графика вместе и образуют Э-крест.


Предельные случаи Э-креста[править | править код]

С формальной точки зрения, чтобы рассмотреть предельный Э-крест, следует рассмотреть 4 случая:

1., ,

2., ,

3., ,

4., .

Однако, скорее всего, имеет смысл рассмотреть только два из этих случаев, когда параметры обоих распределений ведут себя одинаково:

1. Когда оба параметра стремятся к нулю, это означает, что и покупательная способность и производительная стремятся к бесконечности, такой рынок можно назвать процветающим, в этом случае предельный Э-крест совпадает с крестом


2. Когда оба параметра стремятся к бесконечности, это означает, что и покупательная способность и производительная стремятся к нулю, такой рынок можно назвать стагнирующим, в этом случае вид предельного Э-креста зависит от вида функции ценности

А) Если ценность принимает минимальное значение на одном подмножестве и максимальное значение тоже только на одном подмножестве , то Э-крест вырожденный.


Б) Если же ценность ) имеет несколько одинаковых минимальных значений на , некоторых подмножествах , и несколько одинаковых максимальных значений на , некоторых других подмножествах , то Э-крест при имеет ступенчатый вид.


Первоначальной целью было: рассмотреть предельные состояния Э-модели рынка, но два способа изображения Э-креста (на плоскостях и ) подсказали новую идею. Классический подход позволяет находить на плоскости лишь одну точку равновесной цены для вложенной структуры событий-спросов и событий-предложений, эвентологический подход позволил находить интервал равновесных цен для любой структуры этих событий.

Новый способ изображения Э-креста на плоскости позволил получить равновесное подмножество товаров , а также интервал равновесных подмножеств товаров, который определяется максимумом совпадения и минимумом различия вероятностей событий-спросов и событий-предложений, чего до сих пор не было в экономикс.

Равновесное подмножество товаров[править | править код]

Что представляет собой одно равновесное подмножество товаров ? Вероятно, это подмножество товаров, одинаково привлекательное как для покупателя, так и для продавца в случае вложенной структуры событий-спросов и событий-предложений. Тогда интервал равновесных подмножеств товаров представляет собой подмножества товаров, привлекательные как для покупателя, так и для продавца в случае всевозможных структур зависимостей событий-спросов и событий-предложений. Интервал равновесных подмножеств товаров определяется ковариацией между подмножествами событий.

Ковариационная матрица имеет специфический вид.


— вероятность покупки вообще — характеристика рынка. Это число характеризует активность на рынке, позволяет сравнивать различные рынки между собой.

— вероятность не покупки вообще — характеристика рынка.

Максимизируя вероятность пересечения событий спроса и предложения, тем самым максимизируем вероятность покупки на рынке.

Минимизируя вероятность симметрической разности событий спроса и предложения, тем самым минимизируем вероятность не покупки на рынке.


— вероятность отсутствия рынка, тогда вероятность не покупки:

Характеристики рынка в целом:

1. покупка на рынке,

2. не покупка на рынке,

3. отсутствие рынка.

В сумме все 3 характеристики дают единицу.

Глобальные характеристики спроса и предложения:

— вероятность спроса,

— вероятность предложения.

Тогда глобальные характеристики рынка в целом:

Глобальные характеристики рынка в целом[править | править код]

1. вероятность спроса,

2. вероятность предложения,

3. вероятность покупки,

4. вероятность не покупки,

5. вероятность отсутствия рынка.

Для каждого получаем эту же четверку вероятностей:

— вероятность спроса,

— вероятность предложения,

— вероятность покупки подмножества товаров,

— вероятность не покупки.

Эвентологические теоремы о спросе и предложении[править | править код]

Сформулированы и доказаны теоремы о закаливании и плавлении как для гиббсовского, так и для антигиббсовского распределений. С точки зрения эвентологии любое событие можно рассматривать как дуальное событие, состоящее из двух событий: восприятие и деятельность. Рассматриваются гиббсовские и антигиббсовские распределения. Первое предлагается использовать для моделирования ценности восприятия, второе для моделирования ценности деятельности.В качестве примера спрос предложено рассматривать как событий-восприятия, предложение как событий-деятельность. Такой подход позволил получить гибсовскую эвентологическую модель рынка.


Теорема (закаливание и плавление гиббсовского множества случайных событий)[править | править код]

Формулировка[править | править код]

Пусть множество случайных событий с неотрицательной функцией на и гиббсовским эвентологическим распределением .

Тогда

Здесь

— совокупность подмножеств, на которых функция гиббсовского множества случайных событий принимает минимальное значение,

а

— собственная вероятность минимума .


Доказательство первого утверждения[править | править код]

Пусть — минимальное значение функции . Тогда


Если — минимум, т.е. , то соответствующий показатель экспоненты пропадает для любого возможного , а экспонента оказывается равной 1. Другие показатели экспонент строго отрицательны и их экспоненты, убывая, стремятся к нулю, когда стремится к бесконечности. Следовательно, всё выражение возрастает монотонно к ), если , и стремится к 0 иначе.

Допустим, что — не минимум, т.е. , и положим ). Перепишем вероятность ) в виде

где — константа, не зависящая от .


Достаточно показать, что знаменатель в конце концов возрастает. Дифференцирование по дает

).

Вторая сумма стремится к нулю, а первая — к бесконечности, когда .

Следовательно, производная в конце концов становится положительной, и это показывает, что , как функция , в конце концов убывает. Первое утверждение доказано.

Доказательство второго утверждения[править | править код]

Если , гиббсовское случайное множество под сходится к распределению на всем . Действительно, в сумме

каждая экспонента сходится к единице, следовательно,


Второе утверждение а с ним и вся теорема доказаны.


Согласно теореме при закаливании () предельное распределение гиббсовского множества случайных событий сосредоточивается только на , на котором оно становится пропорциональным своим собственным вероятностям, а при плавлении () — совпадает с распределением его собственных вероятностей на всех подмножествах .



Теорема (закаливание и плавление антигиббсовского множества случайных событий)[править | править код]

Формулировка[править | править код]

Сформулируем аналогичную теорему для антигиббсовского множества случайных событий.

Пусть — антигиббсовское множество случайных событий с неотрицательной функцией на и антигиббсовским эвентологическим распределением .

Тогда


Здесь

— совокупность подмножеств, на которых функция антигиббсовского случайного множества принимает максимальное значение,

а

— собственная вероятность максимума .


Доказательство первого утверждения[править | править код]

Пусть ) — максимальное значение функции . Тогда


Если — максимум, т.е. , то соответствующий показатель экспоненты пропадает для любого возможного , а экспонента оказывается равной 1. Другие показатели экспонент строго положительны и их экспоненты стремятся к бесконечности, когда стремится к бесконечности. Следовательно, всё выражение убывает монотонно к нулю.


Допустим, что — не максимум, т.е., и положим . Перепишем вероятность в виде

где — константа, не зависящая от .


Достаточно показать, что знаменатель в конце концов возрастает. Дифференцирование по дает

.

Первая сумма стремится к нулю, а вторая — к бесконечности, когда .

Следовательно, производная в конце концов становится положительной, и это показывает, что , как функция , в конце концов убывает. Первое утверждение доказано.

Доказательство второго утверждения[править | править код]

Если антигиббсовское случайное множество под сходится к распределению на всем . Действительно, в сумме

каждая экспонента сходится к единице, следовательно,

Второе утверждение а с ним и вся теорема доказаны.

Согласно теореме при закаливании () предельное распределение антигиббсовского множества случайных событий сосредоточивается только на , на котором оно становится пропорциональным своим собственным вероятностям, а при плавлении () — совпадает с распределением его собственных вероятностей на всех подмножествах .


Теоремы о закаливании и плавлении гиббсобского и антигиббсовского множеств случайных событий: событий-восприятий и событий деятельности позволяют моделировать поведение разумного субъекта при изменении ценности восприятия и ценности деятельности.


Статистическая модель поведения разумного субъекта, стремящегося к равновесному Э-выбору "восприятие-деятельность" вполне может быть использована также для моделирования поведения субъектов рынка. Так, гиббсовское Э-распределение события-восприятия можно использовать для моделирования событий-спроса, а антигиббсовское Э-распределение события-деятельности — для моделирования событий-предложений. Поскольку в гиббсовском Э-распределении событий-спросов роль ценности восприятия играет обратный средний доход потребителей, а в антигиббсовском Э-распределении событий-предложеий роль ценности деятельности играет обратная средняя производительность, то доказанные теоремы о закаливании и плавлении этих распределений открывают новые возможности эвентологической модели рынка (Э-креста Маршалла).

См. также[править | править код]

Список литературы[править | править код]

[1] Голденок Е.Е. (2002) Струкутрный анализ зависимостей событий в статистических системах. Автореферат дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск: КГТИ, 20 с.

[2] Голденок Е.Е., Голденок К.В. (2006) Эвентологическое обоснование классической модели рынка. Вестник Красноярского государственного университета. Серия физ.-мат. наук. - Красноярск: КрасГУ. - № 9. - с. 135-139.

[3] Воробьёв О.Ю. (2007) Эвентология. - Красноярск: СФУ, КГТИ, ИВМ СО РАН. - 435 с.

Внешние ссылки[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.