Эвентологический анализ взаимодействия рыночного спроса и предложения

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Для того чтобы наиболее точно описать рынок и всевозможные связанные с ним события, необходимо включить в описание рыночных агентов (продавцов и потребителей), как один из главных источников неопределенности. Именно эвентология дает нам такую возможность. Рассмотрим рынок в эвентологическом пространстве $(\Omega, F, P )$ .

Гиббсовское Э-распределение событий-спросов[]

В теореме о замораживании и разогревании спроса предлагается заданным Гиббсовское Э-распределение событий-спросов:

$p^{\downarrow }(X)={\frac {1}{Z_{p_{*}^{\downarrow }}}}\exp {\Big \{}-\beta {\mathcal {V}}(X){\Big \}}p_{*}^{\downarrow }(X),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},\ \ \ \beta \geq 0.$ , (1)

где $\mathfrak{X}$ — множество товаров на рынке,

$X$ — подмножество товаров, $X \subseteq \mathfrak{X}$ ,

$p^{\downarrow }(X)$ — вероятность покупки рыночным агентом подмножества товаров $X$ ,

$\beta$ — неотрицательная величина, имеющая смысл обратной покупательной способности рыночного агента,

${\mathcal {V}}(X)$ — неубывающая функция ценности подмножества товаров $X$ ,

$p_{*}^{\downarrow }(X$ ) — распределение вероятностей собственных вкусов и предпочтений рыночного агента.

$Z_{p_{*}^{\downarrow }}$ — нормирующий множитель.

При стремлении $\beta$ к нулю или бесконечности распределение $p^{\downarrow }(X$ ) меняется и стремится к некоторому предельному Э-распределению $p_{*}^{\downarrow }(X$ ).

Распределение вероятностей ${\Big \{}p_{*}^{\downarrow }(X),X\subseteq {\mathfrak {X}}{\Big \}}$ определяет структуру зависимостей событий из множества $\mathfrak{X}$ . Предлагается рассмотреть распределение $p_{*}^{\downarrow }(X)$ для трех "основных" структур зависимостей (вложенной, независимой и не пересекающейся) и посмотреть к какому распределению стремится распределение $p^{\downarrow }(X)$ при стремлении $\beta$ к нулю или к бесконечности.

При $\beta \to 0$ распределение $p^{\downarrow }(X)$ стремится к распределению $p_{*}^{\downarrow }(X)$ при любой структуре зависимостей событий, определяемой распределением $p_{*}^{\downarrow }(X)$ .

При $\beta \to \infty$ играет роль подмножество ${\cal {M}}_{\min }$ , такие подмножества $X$ , на которых функция ценности ${\mathcal {V}}(X$ ) принимает минимальные значения.

Можно рассмотреть 2 случая :

1. Больцмановское распределение.

2. Гиббсовское распределение.

Больцмановское Э-распределение[]

$p^{\downarrow }(X)={\frac {1}{Z_{p_{*}^{\downarrow }}}}B(X)$ , (2)

где $B(X)=\exp {\Big \{}-\beta {\mathcal {V}}(X){\Big \}}$ — фактор Больцмана. Распределение (2) получается из распределения (1), когда $p_{*}^{\downarrow }(X)$ — равномерное. Все вероятности $p^{\downarrow }(X)>0$ , т.к. $\exp {\Big \{}-\beta {\mathcal {V}}(X){\Big \}}>0,$ поэтому можно рассматривать любые структуры зависимостей, кроме тех, у которых некоторые вероятности равны нулю, т.е. либо независимые, либо произвольно зависимые.

Рассмотрим Больцмановское независимое распределение:

1) При $\beta \to 0$ в пределе получим равномерное распределение с вероятностями ${\frac {1}{2^{N}}}$ , где $N=|\mathfrak{X}|$ -- мощность $\mathfrak{X}$ , т.е. независимое, причем вероятность каждого события будет $\frac{1}{2}$ .

2а) Если $\beta \to \infty$ , то в пределе в частном случае, если и ценность ${\mathcal {V}}(X)$ , и вероятность $p^{\downarrow }(X)$ на всех подмножествах принимают различные значения, получается вырожденное распределение, и вероятность этого значения равна единице, т.к. в этом случае ценность принимает единственное минимальное значение ${\mathcal {V}}_{\min }(X)$ .

2б) в общем же случае независимого распределения ценность определяется только ценностями $N$ исходных событий из $\mathfrak{X}$

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x)=\exp \Big\{ -\beta \mathcal{V}(X)\Big\},\\\ P(x^{c})=1-\exp \Big\{ -\beta \mathcal{V}(X)\Big\}}

При этом могут возникнуть ситуации, когда ${\mathcal {V}}(X$ ) одно и то же для разных $X$ .(Например, если $P(x)={\frac {1}{2}}$ для всех $x \in \mathfrak{X}$ , то получаем равномерное распределение, т.е. все ценности равны между собой ). Таким образом, совпадение значений ${\mathcal {V}}(X)$ зависит от того, каковы значения исходных вероятностей $P(x)$ . Допустим, что функция ценности ${\mathcal {V}}(X)$ принимает минимальное значение на ${\cal {M}}_{\min }$ , тогда распределение $p^{\downarrow }(X)$ становится равномерным на этих подмножествах с вероятностями ${\frac {1}{|{\cal {M}}_{\min }|}}$ , а на остальных подмножествах вероятности принимают нулевые значения.

Итак, при $\beta \to \infty$ в частном случае получаем вырожденное распределение, а в общем случае — распределение является равномерным на ${\cal {M}}_{\min }$ .

Гиббсовское Э-распределение[]

Рассмотрим три случая:

$p_{*}^{\downarrow }(X)$ определяет структуры событий:

1) вложенную,

2) независимую,

3) не пересекающуюся

Вид предельного распределения зависит от того, на каких событиях-террасках ценность ${\mathcal {V}}(X)$ достигает минимального значения, потому что на остальных событиях-террасках вероятность в пределе равна нулю. Таким образом, при $\beta \to \infty$ вложенная и не пересекающаяся структуры событий сохраняются, а независимая структура событий иногда сохраняется, а иногда становится произвольно зависимой.

Попробуем связать 2 способа изображения распределения спроса $p^{\downarrow }(X)$ .

Сначала сделаем следующее предположение о виде распределения $p_{*}^{\downarrow }(X)$ : $p_{*}^{\downarrow }(X)$ монотонно зависит от ценности ${\mathcal {V}}(X)$ и должна быть обратно пропорциональна ей.

$p_{*}^{\downarrow }(X)={\frac {1}{Z_{p_{*}^{\downarrow }}}}\exp {\Big \{}-\beta _{*}{\mathcal {V}}(X){\Big \}}$

— соответствует обратной покупательной способности, т.е. рыночному состоянию агента, можно сказать, что $\beta _{*}$ определяет рыночный статус агента.

А) Если ценность ${\mathcal {V}}(X)$ принимает минимальное значение лишь на одном подмножестве $X_{\min }$ , то кривые $p^{\downarrow }(X)$ и $p_{*}^{\downarrow }(X)$ — строго монотонно убывающие.

Б) если же ценность ${\mathcal {V}}(X)$ имеет одинаковые минимальные значения на некоторых подмножествах $\mathfrak{X}$ , то графики кривых $p^{\downarrow }(X)$ и $p_{*}^{\downarrow }(X$ ) имеют ступеньки.

В случае, когда $\beta \to 0$ распределение $p^{\downarrow }(X)$ стремится к распределению $p_{*}^{\downarrow }(X)$ .

В случае, когда $\beta \to \infty$

А) если ${\mathcal {V}}(X)$ принимает минимальное значение лишь на одном подмножестве $X_{\min }$ , то предельное распределение в обеих плоскостях ( $p^{\downarrow }(X),X)$ и $(p^{\downarrow }(X),{\mathcal {V}}(X))$ , имеет вырожденный вид — одна точка, вероятность которой равна 1.

Б) если же ценность ${\mathcal {V}}(X)$ имеет одинаковые минимальные значения ${\mathcal {V}}_{\min }(X$ ) на ${\cal {M}}_{\min }$ , некоторых подмножествах $\mathfrak{X}$ , то предельное распределение в плоскости $(p^{\downarrow }(X),X)$ становится равномерным на этих подмножествах с вероятностями ${\frac {1}{|{\cal {M}}_{\min }|}}$ , а на других принимает значения, равные нулю. В плоскости $(p^{\downarrow }(X),{\mathcal {V}}(X))$ график превращается в точку, в которой склеиваются $|{\cal {M}}_{\min }|$ событий-террасок с ${\mathcal {V}}_{\min }(X)$ . Вероятность каждой из которых ${\frac {1}{|{\cal {M}}_{\min }|}}$ и в сумме они дают 1.

Антигиббсовское Э-распределение событий-предложений[]

Выше были рассмотрены графики предельных Э-распределений событий-спросов на множество товаров $\mathfrak{X}$ . Предполагается, что распределение событий-предложений определяется противоположным гиббсовским Э-распределением, имеющим "симметричный" Гиббсовскому распределению вид:

$p^{\uparrow }(X)={\frac {1}{Z_{p_{*}^{\uparrow }}}}\exp {\Big \{}\gamma {\mathcal {V}}(X){\Big \}}p_{*}^{\uparrow }(X),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},\ \ \ \gamma \geq 0,$

где

$\mathfrak{X}$ — множество товаров на рынке,

$X$ — подмножество товаров,

$p^{\uparrow }(X)$ — вероятность предложения рыночным агентом подмножества товаров $X$ ,

$\gamma$ — неотрицательная величина, имеющая смысл обратной производительной способности рыночного агента,

${\mathcal {V}}(X)$ — неубывающая функция ценности подмножества товаров,

$p_{*}^{\uparrow }(X)$ — распределение вероятностей собственных вкусов и предпочтений рыночного агента,

$Z_{p_{*}^{\uparrow }}$ — нормирующий множитель.

Аналогичным образом можно рассмотреть предельные распределения событий-предложений при стремлении $\gamma$ к нулю или к бесконечности. Заметим, что в силу симметричности распределений при стремлении $\gamma$ к бесконечности вместо ${\cal {M}}_{\min }$ , подмножеств $X$ , на которых функция ценности ${\mathcal {V}}(X)$ имеет минимальное значение, играют роль ${\cal {M}}_{\max }$ , подмножества $X$ , на которых функция ценности ${\mathcal {V}}(X)$ имеет максимальное значение ${\mathcal {V}}_{\max }(X)$ .

Совместив на одной плоскости графики Э-распределений событий-спросов и событий-предложений, получим так называемый Э-крест, который определяет совместное Э-распределение событий-спросов и событий-предложений:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\cr»): {\displaystyle p^{\downarrow\uparrow}(X,Y)= \begin{cases} p^\downarrow(X)p^\uparrow(Y)-\mathrm{Kov}^{\downarrow\uparrow}(X,Y), & X=Y,\cr p^\downarrow(X)p^\uparrow(Y), & X \not= Y. \end{cases}}

Здесь

$p^{\downarrow \uparrow }(X,X)=\mathbf {P} {\Big (}\mathrm {ter} (X^{\downarrow })\cap \mathrm {ter} (X^{\uparrow }){\Big )}$

— вероятность пересечения террасок событий-спросов и событий-предложений

$X^{\downarrow }\subseteq {\mathfrak {X}}^{\downarrow }$ — множество событий-спросов,

$X^{\uparrow }\subseteq {\mathfrak {X}}^{\uparrow }$ — множество событий-предложений

Это совместное Э-распределение зависит от функции ценности ${\mathcal {V}}(X,Y)$ . Скорее всего, функцию ценности можно определить следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\cr»): {\displaystyle \mathcal{V}(X,Y)= \begin{cases} \mathcal{V}(X), & X=Y,\cr 0, & X \not= Y. \end{cases}}

Если под ценностью понимать ценность сделки ${\mathcal {V}}(X,Y)$ , то она представляет собой ${\mathcal {V}}(X)$ , когда событие-спрос и событие-предложение совпадают и равна нулю, если эти события не совпадают, т.к. в последнем случае сделка не осуществляется.

Заметим, что пара графиков Э-распределений событий-спросов и событий-предложений позволяет найти точку рыночного равновесия, как в экономикс. Если же рассмотреть вместе с этими кривыми еще пару кривых: кривую совпадения событий спроса и предложения и кривую различия событий спроса и предложения $p(X\cap Y)$ , то можно получить интервал равновесия, который определяется максимумом и минимумом этих кривых соответственно. Все четыре графика вместе и образуют Э-крест.

Предельные случаи Э-креста[]

С формальной точки зрения, чтобы рассмотреть предельный Э-крест, следует рассмотреть 4 случая:

1. $\beta \to 0$ , $\gamma \to 0$ ,

2. $\beta \to \infty$ , $\gamma \to \infty$ ,

3. $\beta \to 0$ , $\gamma \to \infty$ ,

4. $\beta \to \infty$ , $\gamma \to 0$ .

Однако, скорее всего, имеет смысл рассмотреть только два из этих случаев, когда параметры обоих распределений ведут себя одинаково:

1. Когда оба параметра стремятся к нулю, это означает, что и покупательная способность и производительная стремятся к бесконечности, такой рынок можно назвать процветающим, в этом случае предельный Э-крест $p^{\downarrow \uparrow }(X,X)$ совпадает с крестом $p_{*}^{\downarrow \uparrow }(X,X)$

2. Когда оба параметра стремятся к бесконечности, это означает, что и покупательная способность и производительная стремятся к нулю, такой рынок можно назвать стагнирующим, в этом случае вид предельного Э-креста $p^{\downarrow \uparrow }(X,X)$ зависит от вида функции ценности ${\mathcal {V}}(X)$

А) Если ценность ${\mathcal {V}}(X)$ принимает минимальное значение на одном подмножестве $X_{\min }\subseteq {\mathfrak {X}}$ и максимальное значение тоже только на одном подмножестве $X_{\max }\subseteq {\mathfrak {X}}$ , то Э-крест вырожденный.

Б) Если же ценность ${\mathcal {V}}(X$ ) имеет несколько одинаковых минимальных значений на ${\cal {M}}_{\min }$ , некоторых подмножествах $X \subseteq \mathfrak{X}$ , и несколько одинаковых максимальных значений на ${\cal {M}}_{\max }$ , некоторых других подмножествах $X \subseteq \mathfrak{X}$ , то Э-крест при имеет ступенчатый вид.

Первоначальной целью было: рассмотреть предельные состояния Э-модели рынка, но два способа изображения Э-креста (на плоскостях $(p^{\downarrow }(X),X)$ и $(p^{\downarrow }(X),{\mathcal {V}}(X))$ ) подсказали новую идею. Классический подход позволяет находить на плоскости $(p^{\downarrow }(X),{\mathcal {V}}(X))$ лишь одну точку равновесной цены для вложенной структуры событий-спросов и событий-предложений, эвентологический подход позволил находить интервал равновесных цен для любой структуры этих событий.

Новый способ изображения Э-креста на плоскости $(p^{\downarrow }(X),X)$ позволил получить равновесное подмножество товаров $X \subseteq \mathfrak{X}$ , а также интервал равновесных подмножеств товаров, который определяется максимумом совпадения и минимумом различия вероятностей событий-спросов и событий-предложений, чего до сих пор не было в экономикс.

Равновесное подмножество товаров[]

Что представляет собой одно равновесное подмножество товаров $X \subseteq \mathfrak{X}$ ? Вероятно, это подмножество товаров, одинаково привлекательное как для покупателя, так и для продавца в случае вложенной структуры событий-спросов и событий-предложений. Тогда интервал равновесных подмножеств товаров представляет собой подмножества товаров, привлекательные как для покупателя, так и для продавца в случае всевозможных структур зависимостей событий-спросов и событий-предложений. Интервал равновесных подмножеств товаров определяется ковариацией между подмножествами событий.

$\mathrm {Kov} ^{\downarrow \uparrow }(X,X)=p^{\downarrow \uparrow }(X^{\downarrow },X^{\uparrow })-p^{\downarrow }(X^{\downarrow })p^{\uparrow }(X^{\uparrow })$

Ковариационная матрица имеет специфический вид.

$P(K^{\downarrow }\subseteq K^{\uparrow })=\sum _{X\in 2^{\mathfrak {X}}}\sum _{Y\in 2^{\mathfrak {X}}}p^{\downarrow \uparrow }(X,Y)\zeta (X,Y)$

— вероятность покупки вообще — характеристика рынка. Это число характеризует активность на рынке, позволяет сравнивать различные рынки между собой.

$1-P(K^{\downarrow }\subseteq K^{\uparrow })$

— вероятность не покупки вообще — характеристика рынка.

Максимизируя вероятность пересечения событий спроса и предложения, тем самым максимизируем вероятность покупки на рынке.

Минимизируя вероятность симметрической разности событий спроса и предложения, тем самым минимизируем вероятность не покупки на рынке.

$P(K^{\downarrow }=\emptyset ,K^{\uparrow }=\emptyset )=p^{\downarrow \uparrow }(\emptyset ,\emptyset )$

— вероятность отсутствия рынка, тогда вероятность не покупки:

$1-p^{\downarrow \uparrow }(\emptyset ,\emptyset )-P(K^{\downarrow }\subseteq K^{\uparrow })$

Характеристики рынка в целом:

1. покупка на рынке,

2. не покупка на рынке,

3. отсутствие рынка.

В сумме все 3 характеристики дают единицу.

Глобальные характеристики спроса и предложения:

$P(K^{\downarrow }=\emptyset )=1-p^{\downarrow }(\emptyset )$

— вероятность спроса,

$P(K^{\uparrow }=\emptyset )=1-p^{\uparrow }(\emptyset )$

— вероятность предложения.

Тогда глобальные характеристики рынка в целом:

Глобальные характеристики рынка в целом[]

1. вероятность спроса,

2. вероятность предложения,

3. вероятность покупки,

4. вероятность не покупки,

5. вероятность отсутствия рынка.

Для каждого $X \subseteq \mathfrak{X}$ получаем эту же четверку вероятностей:

$p^{\downarrow }(X)={\frac {1}{Z_{p_{*}^{\downarrow }}}}\exp {\Big \{}-\beta {\mathcal {V}}(X){\Big \}}p_{*}^{\downarrow }(X),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},\ \ \ \beta \geq 0$

— вероятность спроса,

$p^{\uparrow }(X)={\frac {1}{Z_{p_{*}^{\uparrow }}}}\exp {\Big \{}\gamma {\mathcal {V}}(X){\Big \}}p_{*}^{\uparrow }(X),\ \ \ X\subseteq {\mathfrak {X}},\ \ \ \gamma \geq 0$

— вероятность предложения,

$P(X\subseteq K^{\downarrow })=\sum _{X\subseteq Y}p^{\downarrow \uparrow }(X,Y)$

— вероятность покупки подмножества товаров,

$1-p^{\downarrow \uparrow }(\emptyset ,\emptyset )-P(X\subseteq K^{\uparrow })$

— вероятность не покупки.

Эвентологические теоремы о спросе и предложении[]

Сформулированы и доказаны теоремы о закаливании и плавлении как для гиббсовского, так и для антигиббсовского распределений. С точки зрения эвентологии любое событие можно рассматривать как дуальное событие, состоящее из двух событий: восприятие и деятельность. Рассматриваются гиббсовские и антигиббсовские распределения. Первое предлагается использовать для моделирования ценности восприятия, второе для моделирования ценности деятельности.В качестве примера спрос предложено рассматривать как событий-восприятия, предложение как событий-деятельность. Такой подход позволил получить гибсовскую эвентологическую модель рынка.

Теорема (закаливание и плавление гиббсовского множества случайных событий)[]

Формулировка[]

Пусть $\mathfrak{X}$ множество случайных событий с неотрицательной функцией на $2^\mathfrak{X}$ ${\mathcal {V}}(X)$ и гиббсовским эвентологическим распределением $p(X)$ .

Тогда

$\lim _{\beta \to \infty }p^{\beta }(X)/p_{*}(X)={\begin{cases}p_{*}(X)/p_{*}(\emptyset ),&X\in {\mathcal {M}}_{0},\\0,&{\mbox{else}},\end{cases}}$

$\lim _{\beta \to 0}p^{\beta }(X)=p_{*}(X),\ \ \ X\in 2^{\mathfrak {X}},$

Здесь

${\mathcal {M}}_{0}={\Bigg \{}X:{\mathcal {V}}(X)=\min _{Y}{\mathcal {V}}(Y){\Bigg \}}\subseteq 2^{\mathfrak {X}},$

— совокупность подмножеств, на которых функция ${\mathcal {V}}(X)$ гиббсовского множества случайных событий принимает минимальное значение,

а $p_{*}(\emptyset )=\sum _{X\in {\mathcal {M}}_{0}}p_{*}(X)$

— собственная вероятность минимума ${\mathcal {V}}(X)$ .

Доказательство первого утверждения[]

Пусть $\displaystyle {\mathcal {V}}_{0}=\min _{Y}{\mathcal {V}}(Y)$ — минимальное значение функции $\mathcal{V}$ . Тогда $p^{\beta }(X)={\frac {\displaystyle \exp {\Bigg \{}-\beta {\mathcal {V}}(X){\Bigg \}}p_{*}(X)}{\displaystyle \sum _{X\in 2^{\mathfrak {X}}}\exp {\Bigg \{}-\beta {\mathcal {V}}(X){\Bigg \}}p_{*}(X)}}=$

$={\frac {\displaystyle \exp {\Bigg \{}-\beta [{\mathcal {V}}(X)-{\mathcal {V}}_{0}]{\Bigg \}}p_{*}(X)}{\displaystyle \sum _{X\in {\mathcal {M}}_{0}}\exp {\Bigg \{}-\beta [{\mathcal {V}}(X)-{\mathcal {V}}_{0}]{\Bigg \}}p_{*}(X)+\sum _{X\in {\mathcal {M}}_{0}^{c}}\exp {\Bigg \{}-\beta [{\mathcal {V}}(X)-{\mathcal {V}}_{0}]{\Bigg \}}p_{*}(X)}}$

Если $X$ — минимум, т.е. $X\in {\mathcal {M}}_{0}$ , то соответствующий показатель экспоненты пропадает для любого возможного $\beta$ , а экспонента оказывается равной 1. Другие показатели экспонент строго отрицательны и их экспоненты, убывая, стремятся к нулю, когда $\beta$ стремится к бесконечности. Следовательно, всё выражение возрастает монотонно к $p_{*}(X)/p_{*}(\emptyset$ ), если $X\in {\mathcal {M}}_{0}$ , и стремится к 0 иначе.

Допустим, что $X$ — не минимум, т.е. $X\in {\mathcal {M}}_{0}^{c}$ , и положим $a(Y)={\mathcal {V}}(Y)-{\mathcal {V}}(X$ ). Перепишем вероятность $p^{\beta }(X$ ) в виде

$\left(p_{X}+\sum _{a(Y)<0}\exp {\Bigg \{}-\beta a(Y){\Bigg \}}p_{*}(Y)+\sum _{a(Y)>0}\exp {\Bigg \{}-\beta a(Y){\Bigg \}}p_{*}(Y)\right)^{-1},$

где $p_{X}=\sum _{Y:{\mathcal {V}}(Y)={\mathcal {V}}(X)}p_{*}(Y)$ — константа, не зависящая от $\beta$ .

Достаточно показать, что знаменатель в конце концов возрастает. Дифференцирование по $\beta$ дает

$\sum _{a(Y)<0}(-a(Y))\exp {\Bigg \{}-\beta a(Y){\Bigg \}}p_{*}(Y)+\sum _{a(Y)>0}(-a(Y))\exp {\Bigg \{}-\beta a(Y){\Bigg \}}p_{*}(Y$ ).

Вторая сумма стремится к нулю, а первая — к бесконечности, когда $\beta \to \infty$ .

Следовательно, производная в конце концов становится положительной, и это показывает, что $p^{\beta }(X)$ , как функция $\beta$ , в конце концов убывает. Первое утверждение доказано.

Доказательство второго утверждения[]

Если $\beta \to 0$ , гиббсовское случайное множество $K$ под $\mathfrak{X}$ сходится к распределению $p_*(X)$ на всем $2^\mathfrak{X}$ . Действительно, в сумме

$Z^{\beta }(X)=\sum _{Y\in 2^{\mathfrak {X}}}\exp {\Bigg \{}-\beta [{\mathcal {V}}(Y)-{\mathcal {V}}(X)]{\Bigg \}}p_{*}(X)$

каждая экспонента сходится к единице, следовательно,

$p^{\beta }(X)=p_{*}(X).$

Второе утверждение а с ним и вся теорема доказаны.

Согласно теореме при закаливании ( $\beta \to \infty$ ) предельное распределение гиббсовского множества случайных событий сосредоточивается только на ${\mathcal {M}}_{0}$ , на котором оно становится пропорциональным своим собственным вероятностям, а при плавлении ( $\beta \to 0$ ) — совпадает с распределением его собственных вероятностей на всех подмножествах $\mathfrak{X}$ .