Ивентология Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Введение[править | править код]

Рассматривая вопрос о приближении системы к равновесию, Больцман сформулировал в 1872 г. знаменитую H-теорему. С тех пор против этой теоремы было выдвинуто множество возражений; она вызывала многочисленные споры и подверглась некоторым видоизменениям. В настоящее время имеются следующие четыре основные модификации H-теоремы, отличающиеся способом рассмотрения[1].

  • Динамический подход:
    1. H-теорема, основанная на уравнении Больцмана.
    2. H-теорема, базирующаяся на различных следствиях из уравнения Лиувилля и основном кинетическом уравнении.
  • Статистический подход:
    1. H-теорема, связанная с каноническим распределением.
    2. H-теорема, действие которой обусловлено огрублением или потерей информации.

Несмотря на различные подходы, все эти модификации тождественны по сути: они указывают на возрастание энтропии при приближении к статистическому равновесию. Используя H-теорему, Больцман показал, что в состоянии равновесия должно выполняться условие детального баланса. Функция распределения Максвелла-Больцмана вытекает из этого условия. Больцман доказал, что поскольку эта функция удовлетворяет уравнению Больцмана, то такое распределение есть необходимое и достаточное условие равновесия.

H-теорема Больцмана доказывается простым изменением порядка интегрирования по скоростям, что позволяет выразить величину через интеграл столкновений.

Необратимость, вытекающая из H-теоремы, вызвала массу вопросов и возражений, поскольку казалось, что она противоречит обратимым во времени законам динамики. Отвечая на подобные возражения, Больцман, а позднее Эренфест[2] интерпретировали убывание H-функции (пропорциональной энтропии) как статистическое, а не динамическое изменение.

Исторически H-теорема Больцмана сыграла важную роль в развитии статистической механики. Следует, однако, подчеркнуть, что H-теорема определяет равновесное выражение только для одночастичной функции распределения. Очевидно, что N-частичные системы нельзя адекватно описать такой одночастичной функцией распределения. Поэтому мы рассмотрим модификацию H-теоремы, принадлежащую Гиббсу. Эта H-теорема определяет равновесную N-частичную функцию распределения.

Пусть

гамильтониан термодинамической системы (полная энергия системы);
— координаты и импульсы частиц системы.

Введем величины

Согласно определению (1), H-функция равна среднему от :

Заметим, что H-функция (1) не зависит от координат фазового пространства , поскольку интегрирование по фазовому пространству уже выполнено. Однако, так как функция энтропии H содержит интегрирование по пространственным координатам, она может зависеть от полного объема системы. Кроме того, H-функция является функцией от наложенных на систему внешних условий.

В силу теоремы Лиувилля введенная таким образом H-функция не зависит от времени, но величина H-функции определяется видом функции . Если мы определяем при условии заданной энергии, то имеет место следующая теорема.

H-теорема Больцмана (модификация Гиббса)[править | править код]

H-теорема Больцмана (модификация Гиббса). Если функция распределения удовлетворяет условию

то H-функция принимает минимальное значение, когда

Здесь — постоянные, не зависящие от координат фазового пространства.

Обсуждение[править | править код]

Когда H-функция имеет минимальное значение, мы считаем, что система находится в равновесии, а убывание H-функции со временем соответствует приближению к равновесию. Так как термодинамическая энтропия возрастает, когда система стремится к равновесию, положим

т. е. за энтропию мы принимаем величину, пропорциональную H-функции.

Коэффициент пропорциональности есть универсальная постоянная. В самом деле, предположим, что система состоит из двух независимых подсистем 1 и 2. Тогда полная функция распределения равна произведению функций распределения этих подсистем:

где и — переменные фазового пространства двух подсистем. Положим по определению

Два слагаемых в правой части независимы друг от друга. Поэтому, если каждому члену сопоставить энтропию, коэффициент пропорциональности не должен зависеть от выбора системы. Этот коэффициент называется постоянной Больцмана.

Функция распределения (4) называется канонической функцией распределения, которая соответствует тепловому равновесию термодинамической системы.

Литература[править | править код]

  1. Isihara A. Statistical Physics. — State University of New York, Buffalo. Academic Press. New York, London. — 1971 (перевод: Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир. 1973. — 472с.)
  2. Ehrenfest T., Ehrenfest P., Sitzungsber. kais. Akad. Wissenschaft., Mathem. — naturw. Kl., 115, abt. IIa, 89 (1906).

См.также[править | править код]

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.