H-теорема Больцмана

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Введение[]

Рассматривая вопрос о приближении системы к равновесию, Больцман сформулировал в 1872 г. знаменитую H-теорему. С тех пор против этой теоремы было выдвинуто множество возражений; она вызывала многочисленные споры и подверглась некоторым видоизменениям. В настоящее время имеются следующие четыре основные модификации H-теоремы, отличающиеся способом рассмотрения^[1].

Динамический подход:
1. H-теорема, основанная на уравнении Больцмана.
2. H-теорема, базирующаяся на различных следствиях из уравнения Лиувилля и основном кинетическом уравнении.
Статистический подход:
1. H-теорема, связанная с каноническим распределением.
2. H-теорема, действие которой обусловлено огрублением или потерей информации.

Несмотря на различные подходы, все эти модификации тождественны по сути: они указывают на возрастание энтропии при приближении к статистическому равновесию. Используя H-теорему, Больцман показал, что в состоянии равновесия должно выполняться условие детального баланса. Функция распределения Максвелла-Больцмана $f$ вытекает из этого условия. Больцман доказал, что поскольку эта функция удовлетворяет уравнению Больцмана, то такое распределение есть необходимое и достаточное условие равновесия.

H-теорема Больцмана доказывается простым изменением порядка интегрирования по скоростям, что позволяет выразить величину $- d \langle \ln f \rangle / dt$ через интеграл столкновений.

Необратимость, вытекающая из H-теоремы, вызвала массу вопросов и возражений, поскольку казалось, что она противоречит обратимым во времени законам динамики. Отвечая на подобные возражения, Больцман, а позднее Эренфест^[2] интерпретировали убывание H-функции (пропорциональной энтропии) как статистическое, а не динамическое изменение.

Исторически H-теорема Больцмана сыграла важную роль в развитии статистической механики. Следует, однако, подчеркнуть, что H-теорема определяет равновесное выражение только для одночастичной функции распределения. Очевидно, что N-частичные системы нельзя адекватно описать такой одночастичной функцией распределения. Поэтому мы рассмотрим модификацию H-теоремы, принадлежащую Гиббсу. Эта H-теорема определяет равновесную N-частичную функцию распределения.

Пусть

\mathcal{H}=\mathcal{H}(r,p)

— гамильтониан термодинамической системы (полная энергия системы);

r,p

— координаты и импульсы частиц системы.

Введем величины

H=\frac{1}{Z} \int f^{(N)} \ln f^{(N)} dr^N dp^N,

$(1)$

Z = \int f^{(N)} dr^N dp^N.

Согласно определению (1), H-функция равна среднему от $\ln f$ :

$(2) \ \ H = \langle \ln f \rangle.$

Заметим, что H-функция (1) не зависит от координат фазового пространства $(r, p)$ , поскольку интегрирование по фазовому пространству уже выполнено. Однако, так как функция энтропии H содержит интегрирование по пространственным координатам, она может зависеть от полного объема системы. Кроме того, H-функция является функцией от наложенных на систему внешних условий.

В силу теоремы Лиувилля введенная таким образом H-функция не зависит от времени, но величина H-функции определяется видом функции $f^{(N)}$ . Если мы определяем $f^{(N)}$ при условии заданной энергии, то имеет место следующая теорема.

H-теорема Больцмана (модификация Гиббса)[]

H-теорема Больцмана (модификация Гиббса). Если функция распределения удовлетворяет условию

$(3) \ \ \frac{1}{Z} \int \mathcal{H} f^{(N)} dr^{(N)} dp^{(N)} = U,$

то H-функция принимает минимальное значение, когда

$(4) \ \ f^{(N)} = \exp [\beta(F-\mathcal{H})].$

Здесь $U, F, \beta$ — постоянные, не зависящие от координат фазового пространства.

Обсуждение[]

Когда H-функция имеет минимальное значение, мы считаем, что система находится в равновесии, а убывание H-функции со временем соответствует приближению к равновесию. Так как термодинамическая энтропия возрастает, когда система стремится к равновесию, положим

S=-kH,

т. е. за энтропию мы принимаем величину, пропорциональную H-функции.

Коэффициент пропорциональности $k$ есть универсальная постоянная. В самом деле, предположим, что система состоит из двух независимых подсистем 1 и 2. Тогда полная функция распределения равна произведению функций распределения этих подсистем:

f(x,y) = f_1(x)f_2(y),

где $x$ и $y$ — переменные фазового пространства двух подсистем. Положим по определению

\langle \ln f \rangle = \langle \ln f_1 \rangle_1 + \langle \ln f_2 \rangle_2.

Два слагаемых в правой части независимы друг от друга. Поэтому, если каждому члену сопоставить энтропию, коэффициент пропорциональности не должен зависеть от выбора системы. Этот коэффициент $k$ называется постоянной Больцмана.

Функция распределения (4) называется канонической функцией распределения, которая соответствует тепловому равновесию термодинамической системы.

Литература[]

↑ Isihara A. Statistical Physics. — State University of New York, Buffalo. Academic Press. New York, London. — 1971 (перевод: Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир. 1973. — 472с.)
↑ Ehrenfest T., Ehrenfest P., Sitzungsber. kais. Akad. Wissenschaft., Mathem. — naturw. Kl., 115, abt. IIa, 89 (1906).

См.также[]

[1] Isihara A. Statistical Physics. — State University of New York, Buffalo. Academic Press. New York, London. — 1971 (перевод: Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир. 1973. — 472с.)

[2] Ehrenfest T., Ehrenfest P., Sitzungsber. kais. Akad. Wissenschaft., Mathem. — naturw. Kl., 115, abt. IIa, 89 (1906).

[1]

[2]