Хи-квадрат-распределение нецентральное

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Если $\xi _1, \xi _2, \ldots , \xi _n$ - независимые случайные величины, имеющие нормальные распределения с параметрами $(m_1, \sigma ^2), (m_2, \sigma ^2), \ldots , (m_n, \sigma ^2)$ соответственно, то распределение случайной величины $\xi = \frac{1}{\sigma ^2}\sum_{i=1}^n\xi^2_i$ называется нецентральным $\xi ^2-$распределением с n степенями свободы и параметром нецентральности $m=\frac{1}{\sigma ^2}\sum_{i=1}^nm^2_i$.

Плотность распределения

$f(x) = \frac{e^{(x+m)/2}}{2^{n/2}}x^{n/2-1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(mx/4)^j}{j!\Gamma (j+n/2)}, x \geq 0.$

Характеристическая функция

$\varphi (t) = \exp \left[ \frac{imt}{1-2it} \right] (1-2it)^{-n/2}.$

Свойства

• Математическое ожидание:

$\mathbf{E}\xi=m+n;$

• Дисперсия:

$\mathbf{D}\xi=4m+2n.$

Значение

Для больших значений параметра m нецентральное $\chi^2$-распределение с n степенями свободы приближенно совпадает с нормальным $(n+m, \sqrt{2(n+2m)})$ распределением.

$\chi^2$-статистика Пирсона в предположении, что теоретические вероятности равны $(p_1', p_2', \ldots , p_k')$, имеет асимптотически нецентральное $\chi^2$-распределение с k-1 степенями свободы и параметром нецентральности

$m = \sum_{i=1}^k\frac{(p'_i - p_i)^2}{p_i}.$

См.также

• Теория вероятностей
• Распределение вероятностей